杨淑萍，刘熙娟，陈多花

（兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070）

一个具有正负刚度的分段线性系统的动力学研究

杨淑萍，刘熙娟，陈多花

（兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070）

用数值积分的方法仿真一个具有正负刚度的分段线性振荡系统，得到了该系统在某些参数域中的相图、时域响应图和分岔图.数值分析表明：发生非受迫性振动时，无论从怎样的初值开始，系统最终的运动都趋于稳定的平衡点；发生受迫性振动时，在特定的参数条件下，系统运动趋于稳定的极限环；另外，增大阻尼和激励幅值可以有效地控制系统的混沌行为.

分段光滑系统；负刚度；分岔；数值仿真

本文用数值方法对一个具有正负刚度的分段线性动力系统进行分析，得到了系统在某些参数域中的时间响应图、相图和分岔图，从而直观地显示了系统在这些参数域中的稳定运行状态.

1 分段线性振荡系统模型

负刚度设备[1-2]（Negative stiffness device）实验装置如图1的（a）所示，图（b）是装置原理对应的理论模型图.采用自适应负刚度作为辅助装置可以显著减少振动，设备可提高自适应负刚度的地震保护效果[3-4]，所以对其动态特性分析的研究是非常必要的.

理论上的回复力[5]（图2虚线）形式为：

图1 负刚度装置Fig.1 Negative stiffness device(NSD)

其中Δ是弹簧的压缩长度，K是预压弹簧刚度K=4、Δ=1.0、l=0.8.

实验装置中用fs近似代替f得到系统的运动微分方程[6-7]如下：

图2 回复力位移关系的比较Fig.2Comparison of force–displacement relationships

其中回复力表示为分段线性函数：

图3 实验装置中的回复力Fig.3 Restoring force of experiment device

2 数值计算结果

2.1 非受迫性振荡的相图及时域响应图分析

当激励幅值F=0，系统为非受迫性振荡.不动点是分段线性回复力的三个零回复力点，如图3所示.将系统参数设置为：c=0.2，k=-3，此时解得系统的不动点为（-4，0）、（0，0）、（4，0）.系统的相图及其对应的时域响应图，如图4所示.从图4可以看出，对于不同的初值（0.1，0.1）和（-0.1，-0.1），系统相轨线分别趋于不动点（4，0）和（-4，0），这两种不动点具有稳定焦点的性质.

2.2 受迫性振荡的相图及时域响应图分析

将系统参数设置为：k=-2.0，c=0.05，F=2.0，Ω= 0.6，分别取不同初值（5，5）、（-5，5）、（0.1，5）、（3，4）时相图及时域响应图，见图5.

从图5可以清晰地观察到，在不同的初始条件下振荡都收敛到同一个极限环.但同时也可以看出，当时间趋于无穷时，极限环邻域内的所有轨线并不都趋于极限环，可知在这组参数下极限环不太稳定.

再将系统参数设为：k=-3.0，c=0.9，F=11.0，Ω= 1.2，得到系统的相图及时域响应图，如图6所示.

从图6可以看出，随着时间的增加，系统的相轨线始终收敛到极限环，此参数下极限环较稳定.

2.3 分岔图分析

2.3.1 刚度比k变化

设定系统参数值为：c=0.1，F=1.0，Ω=0.4，x2随k变化，发生分岔见图7（a）.

从分岔图上可以看出，当k的值介于-1.7和-0.5之间时，系统运动出现了混沌行为.当k>-0.5时，系统进入一周期运动.而当k介于-2.85和-1.7之间时系统进入三周期运动.增大c值而保持其它参数不变，当c=0.4时，x2随k变化发生的分岔图，见图7（b）.从图7可以看出，系统的混沌行为和周期三窗口消失，这说明增大阻尼可以控制系统的混沌运动.

2.3.2 阻尼c变化

设置系统参数为：k=-0.4，F=5.0，Ω=1.2，x2随c变化发生分岔见图8.当c=0.32时系统进入三周期运动，当c=0.8时系统进入一周期运动.而当c<0.15时系统表现出混沌运动，这进一步验证了增大阻尼可以控制系统的混沌行为.

图4 非受迫性振荡的相图及时域响应图Fig.4 Phase diagrams and time response diagrams of unforced oscillation

图5 受迫性振荡的不同初值时的相图及时域响应图Fig.5 Phase diagrams and time response diagrams of forced oscillation under different initial values

图6 受迫性振荡在特定参数下稳定的极限环Fig.6 Stable limit cycle of forced oscillation under certain parameters

图7 当k变化的分岔图Fig.7 Bifurcation diagram when k varies

图8 当c变化时的分岔图Fig.8 Bifurcation diagram when c varies

2.3.3 激励幅值F变化

设置系统参数为：k=-0.4，c=0.2，Ω=1.2，x2随F变化发生分岔，见图9.从图9可以看出，当F<2或F> 8.1时，振子表现为一周期振动.当F介于2和8.1之间时，振子的运动状态则在混沌和倍周期运动之间交替出现.总之，非常大或非常小的激励幅值都将导致系统发生有界的周期振动.

图9 当F变化时的分岔图Fig.9 Bifurcation diagram when F varies

3 结论

对一个具有正负刚度的分段线性振荡系统的运动微分方程进行数值分析，得到结论如下：

1）系统发生非受迫性振动时，无论从怎样的初值开始，系统运动最终都趋于平衡点.

2）系统发生受迫性振动时，在特定的参数条件下，运动趋于稳定的极限环.

3）从阻尼、刚度比、激励幅值对振动系统关于振动速度的分岔过程的影响中，增大阻尼和激励幅值可以有效地控制系统的混沌行为.

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责任编辑：刘 红

Research on a Piecewise Linear Dynamic System with Positive and Negative Stiffness

YANG Shuping，LIU Xijuan，CHEN Duohua
（School of Mathematics and Physics，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

A piecewise linear vibration systems with positive and negative stiffness is analyzed by the numerical integration method.Through the numerical analysis，the phase diagrams,time response diagrams and bifurcation diagrams in some pa⁃rameters domain were obtained.Analysis showed that the oscillation converged to fixed points under all the initial conditions if the oscillator was unforced;As for the forced system,the oscillation converged to a stable limit cycle depending on the giv⁃en parameters；Damping and excitation amplitude was adequately enough to reduce the chaotic behavior.

piecewise-smooth system；negative stiffness；bifurcation；numerical simulation

O 193

A

1674-4942（2015）03-0245-05

2015-07-08

甘肃省国际科技合作计划项目（1104WCGA195）