黄 瑞

(阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037)

集合上赋予一个拓扑就得到了该集合上的一个拓扑空间，一个集合上可以定义若干个不同的拓扑空间，如3个点的集合上能定义29个拓扑，在不区分同胚的情况下，这29个拓扑空间共分成9类，每一类的结构和拓扑性质各不相同。一般地，对一个拓扑空间的研究往往是从研究该空间中的特殊子集开始的，如邻域、导集、闭包等概念的“源头”都是拓扑空间中的特殊子集“开集”，局部连通空间的“源头”是拓扑空间中的特殊子集“开集”和“连通子集”，局部道路连通空间的“源头”是拓扑空间中的特殊子集“开集”和“道路连通子集”。连通子集是拓扑空间中的一类特殊子集，很多文献中都阐述了连通子集的性质，[1-7]给出了连通子集的一些重要性质，如文中预备知识中的引理2-5，除此之外一般文献中还会给出连通子集的其他一些重要性质，如若一个子集被“夹在”了一个连通子集和其闭包之间，则这个子集也是连通子集。

关于连通性的研究有很多，文献[8]研究了连通子集的充要条件，[9]研究了一类正弦曲线的连通性，[10]则研究了一般拓扑空间的连通性，其中给出了二维欧氏平面中所有至少有一个坐标为有理数的点的全体构成的集合是一个连通子集的结论，[11]和[12-13]分别研究了点集拓扑中的连通性和子基的连通性，[14-20]则研究了特殊拓扑空间的一些特殊连通性。本文将进一步研究连通子集的性质。

1 预备知识

定义1[1]已知拓扑空间（X，Γ），若（X，Γ）中存在两个非空的隔离子集A，B，且满足A⋃B=X，则称拓扑空间（X，Γ）是不连通空间，否则称（X，Γ）是连通空间。……