贾丽，乔占科

(苏州科技学院数理学院，江苏 苏州　215009)

某些完全正则半环的刻画

贾丽，乔占科

(苏州科技学院数理学院，江苏 苏州215009)

研究了完全正则半环的特征.利用半群的方法，得到了当分配半环的乘法幂等元集分别是左零带、矩形带以及正规带时，该类半环成为完全正则半环的等价刻画，推广并改进了相关文献的主要结果.

分配半环；完全正则半环；完全单半环；半环同余

1　引言及预备知识

半环(S，+，·)是一个代数结构，它包含一个非空集合S，在S上定义两个二元运算“+”与“·”，使得(S，+)和(S，·)均为半群，且满足下列分配律：

若半环(S，+，·)满足对偶于(1)式的分配律：

则称(S，+，·)为分配半环.

在半环理论中，半环特征的刻画是半环研究中的一个热点.文献[1]汇集了完全正则半群的当代主要研究成果.半群(S，·)是完全正则的，是指∀a∈S，∃x∈S，使得a=axa，ax=xa.文献[2-5]对幂等分配半环簇进行了深入的研究，获得了一系列非常有意义的工作.文献[6-7]分别对半环的乘法半群和加法半群进行了研究，得到了这类半环的性质和特征.从这些研究成果中可看到半群中使用的方法对研究半环也是十分重要的.文献[8]对加法半群为左零半群的半环成为完全正则半环进行了研究，并给出了其等价刻画.但在该文的条件下，商半环(S/˙ J，+，·)实际上是只有一个元的半环，这是一种极为特殊的情形.本文对文献[8]的条件进行了改进，给出了完全正则半环的刻画，并对乘法幂等元的几种特殊情况进行了讨论，得到了若干结果.本文中其它未说明的记号和术语参见文献[1，9].

2　主要结果及其证明

定义2.1[8]在半环(S，+，·)中，若半群(S，·)是完全正则半群，则称(S，+，·)是完全正则半环.若半群(S，·)是完全单半群，则称(S，+，·)是完全单半环.

定义2.2[8]在半环(S，+，·)中，若ρ同时为半群(S，+)，(S，·)上的同余，则称ρ为半环S上的半环同余.

定义2.3在半环(S，+，·)中，设ρ是半环同余，若半群(S/ρ，+)，(S/ρ，·)都为带(即幂等元半群)，则称ρ为幂等半环同余.

Green-关系对半群理论有着重要的作用，而半环是由分配律联系着的两个半群，故Green-关系当然对半环的研究也是非常有用的.

首先给出一个重要引理.

引理 2.1[1]若(S，·)是完全正则半群，则格林关系J是S上的最小半格同余.

以下是本文的主要结果：

定理 2.1设(S，+，·)是分配半环，E[+]，E[[+]=E[·]，则(S，+，·)是完全正则半环当且仅当(S，+，·)为完全单半环的幂等半环.

定义2.4在半环(S，+，·)中，设ρ为(S，+，·)上的半环同余，T是一个带类(即幂等元半群类).若商半群(S/ρ，+)，(S/ρ，·)都属于T，则称ρ是一个T带同余.此时称半环(S/ρ，+，·)是一个T带半环.其中T可以是半格类、矩形带类、正规带类等.进一步，可得到：

定理 2.2设(S，+，·)是分配半环，E[+]，E[[+]=E[[+]可交换，则(S，+，·)是完全正则半环当且仅当(S，+，·)为完全单半环的半格半环.

反过来，若(S，+，·)是完全单半环的半格半环，则(S，+，·)显然是完全单半环的幂等元半环.由定理2.1知，(S，+，·)是完全正则半环.

由于幂等元的类型对半环的研究具有一定的影响，下面给出分配半环在其幂等元集的不同类型下成为完全正则半环的等价刻画.

定理 2.3设(S，+，·)是分配半环，E[+]，E[[+]=E[·]，E[·]是左零带，则(S，+，·)是完全正则半环当且仅当(S，+，·)是完全单半环的左零带半环.

由以上定理，直接可以得出：

推论 2.1设 S是分配半环，E[+]，E[[+]=E[·]，E[·]是矩形带，则S是完全正则半环当且仅当S是完全单半环的矩形带半环.

推论 2.2设 S是分配半环，E[+]，E[[+]=E[·]，E[·]是正规带，则S是完全正则半环当且仅当S是完全单半环的正规带半环.

[1]Petrich M.A Structure Theorem for Compeletely Regular Semigroups[M].Proceedings of the American Mathematical Society，1987.

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[9]Howie J M.An Introduction to Semigroup Theory[M].New York：Academic Press，1976.

The characterizations of some completely regular semiring

Jia Li，Qiao Zhanke
(College of Mathematics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou215009，China)

In this paper，we study the characteristics of completely regular semirings.Using the methods of semigroups，we obtain the equivalent characterizations of distributive semirings whose sets of multiplication idempotents are left zero bands，rectangular bands or normal bands，we also promote and improve the main results of revelant papers.

distributive semirings，completely regular semirings，completely simple semirings，semiring congruence

O153.3

A

1008-5513(2015)01-0093-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.011

2014-06-12.

贾丽(1990-)，硕士生，研究方向：代数学.

2010 MSC:20M99