董亚莹

(西北大学数学学院，陕西 西安　710127)

非齐次非线性扩散方程的高维不变子空间和等价变换

董亚莹

(西北大学数学学院，陕西 西安710127)

利用与不变子空间方法相关的等价变换和变换v=enu给出了非齐次非线性扩散方程的等价方程，并得到了等价方程的高维不变子空间.最后给出一些例子构造了非齐次非线性扩散方程的广义泛函分离变量解.

非线性扩散方程；不变子空间方法；等价变换；广义泛函分离变量解

1　引言

本文研究非齐次非线性扩散方程

构造非线性演化方程

解的一种有效的方法是不变子空间法[5-6].下面介绍不变子空间法及其相关的定理和定义.

有限维线性空间称为在给定算子 F作用下不变当且仅当 F[Wm]⊆Wm.这意味着存在依赖于 φi(t)的函数使得

如果线性子空间Wm在给定算子F作用下不变，那么方程(2)有广义分离变量解：

其中φi(t)(i=1，···，m)满足有限维动力系统值得注意的是任意一个线性空间Wm=L{f1(x)，f2(x)，···，fm(x)}是由线性常微分方程

其中 [H]表示 L[u]=0及其关于 x的微分序列.由不变条件 (4)可知不变子空间与条件Lie-Bäcklund对称有关[6-14].

定理 1.1[5，7]如果由方程(3)的解空间定义的m维子空间Wm在一个k阶非线性微分算子F作用下不变，那么m≤2k+1.

定义 1.1[5]如果通过变量变换

可以得到，

那么称算子F[y]=F(x，y，y′，···，y(k))等价于算子并且，如果算子F允许不变子空间：

2　方程 (1)的等价方程

下面分两种情况讨论这个算子.

其中a是常数.

3　等价方程的高维不变子空间

由定理1.1，二阶非线性微分算子允许的不变子空间的维数不超过5.因此，下面考虑微分算子(9)式和(10)式允许的2至5维不变子空间.为了方便计算，将和分别记作x和y.在本文中用记号yj=djy/dxj(j＞0，y0=y).

分别设

其中D是关于x的全导数.直接计算可以得到方程(11)的左边是关于y3，y2，y1，y0的多项式，即

对上面多项式进行分析和计算，可以得到下面的结果.

经计算可得，

其中B1(x)，a1(x)，a2(x)满足下列决定方程组：

由决定方程组 (13)的第一个方程得到 a2≡0.把 a2≡0代入 (13)的第二个方程，则有B1(x)=a1(x).再把B1(x)=a1(x)代入(13)的第三个、第四个和第五个方程，可以得到a′1(x)=a0(x).因此有下面的结论.

其允许的不变子空间由常微分方程

定义，其中B1(x)=a1(x)和a′1(x)=a0(x).

其允许的不变子空间由常微分方程 y′′′+a2(x)y′′+a1(x)y′=0定义.其中 B2(x)=a2(x) 和a′2(x)=a1(x).

相同的计算也可以得到下面的注解.

(2)如果由二阶常微分方程(3)定义的不变子空间在非线性微分算子下不变，那么不变条件为：

(3)如果由二阶常微分方程(3)定义的不变子空间在非线性微分算子下不变，那么不变条件为：

这里很难求得a0(x)和a1(x)的具体表达式.

4　方程 (1)的广义泛函分离变量解

利用不变子空间方法和第三节中的结论，可以构造(9)式和(10)式对应的扩散方程的广义分离变量解.进一步得到方程(1)的广义泛函分离变量解.下面给出几个例子说明这个方法.

例4.1通过变换v=enu，方程

例4.2通过变换v=enu，方程

例4.3利用变换v=enu和变量变换方程

5　结论

本文通过利用变换v=enu及与不变子空间方法相关的等价变换将非线性非齐次扩散方程转化为变系数演化方程.进一步，得到了方程(1)的等价方程并且求出了等价方程的高维不变子空间.在文献[13-15]中，变系数非线性演化方程的解是通过不变子空间和条件Lie-Bäcklund对称得到的.而在本文中，对变系数非线性演化方程，首先利用与不变子空间方法相关的等价变换降低变系数的个数.之后，利用不变子空间得到方程的解.事实上，当利用不变子空间方法解这类方程时，只需要考虑微分算子的不变子空间.这样做的好处是能简化计算过程.这种方法也可用于其他非线性方程.

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Equivalent transformations and higher-dimensional invariant subspaces to the inhomogeneous nonlinear diffusion equations

Dong Yaying
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127 China)

In this paper，we firstly obtain the equivalent equations of the inhomogeneous nonlinear diffusion equations by the transformation v=enuand equivalent transformations related to invariant subspace method. Moreover，higher-dimensional invariant subspaces of equivalent equations are derived.Finally，some examples are presented and the generalized functional separable solutions of the inhomogeneous nonlinear diffusion equations can be constructed.

nonlinear diffusion equations，invariant subspace method，equivalent transformations，the generalized functional separable solutions

O175.2

A

1008-5513(2015)01-0018-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.003

2014-10-10.

国家自然科学基金(11371293).

董亚莹(1988-)，博士生，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35A22，35A25，35A55