王永铎, 刘世杰

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

定义1称模M是virtually正则的,如果M的每个有限生成子模同构于M的直和项.称模M是完全virtually正则的,若M的任意子模是virtually正则的.称M是半完全virtually正则的,若M的每个有限生成子模是virtually正则的.

例11)zZ是virtually正则的,但不是正则的.

下面的例子说明virtually正则模的商模和直和项不一定是virtually正则的.

例21)zZ是virtually正则的,而Z/4Z不是.

证明由文献 [2]中的例2.7可知M是virtually半单模,则M是virtually正则的.而Z/4Z的有限生成子模2Z/4Z到Z/4Z的任意直和项都不能建立同构.

命题1设M是virtually正则模.若M=M1⊕M2是M的一个分解且有Hom(M1,M2)=0,则M2是virtually正则模.

证明对M2的任意有限生成子模K,由M是virtually正则模知K≅N使得M=N⊕N′.由Hom(M1,M2)=0及文献[5]中的引理1.9知M1是M的完全不变子模,则M∩M1=(N⊕N′)∩M1=(N∩M1)⊕(N′∩M1).由Hom(M1,N)=0(若Hom(M1,M2)≠0,则有非零同态f:M1→N≅K→M2与Hom(M1,M2)=0矛盾)知N∩M1=0(如果有非零元x∈N∩M1,则M1→N∩M1→N非零),则M1≤N′,N′=M1⊕(N′∩M2),即M=N⊕M1⊕(N′∩M2)=M1⊕M2.故M2≅N⊕(N′∩M2),所以N同构于M2的直和项,即M2是virtually正则模.

证明以n=2为例,其余类推可证.

⟹ 对M的任意有限生成子模N,由T=R1⊗R2知TN=e1N⊕e2N,其中(e1,0),(0,e2)是T的中心正交幂等元(e1R2=e2R1=0且e1+e2=1T).eiN(i=1,2)是Mi的有限生成子模,由RiMi是virtually正则模知eiN≅Ki≤⊕Mi(i=1,2).则N≅K1⊕K2≤⊕M.

⟸ 设T=R1⊗R2.则T-模M=e1M⊕e2M,其中(e1,0),(0,e2)是T的中心正交幂等元.显然eiM(i=1,2)是Ri-模也是T-模.则Hom(Mi,Mj)=0(i≠j).(若有非零映射f:0≠e1m1∈Te1M→e2m2∈Te2M),则有f((1,0)·e1m1)=f(e1m1)=e2m2≠0,而(1,0)f(e1m1)=(1,0)e2m2=0).由命题1可知Mi是virtually正则模.

命题2设R是环,M是左R-模.则以下几条成立.

1) 设I是R的理想且IM=0.则M是virtually正则的R/I-模当且仅当M是virtually正则的R-模.

2) 若M是virtually正则的,则M的每个有限生成子模是M的同态像.若M的每个有限生成子模是M投射的,反之也成立.

3) (完全)virtually正则模有Morita不变性.

4) 若M是virtually正则模,W是M的有限生成子模且包含M的可嵌入到W的所有子模,则W是virtually正则模且存在K≤⊕M使得K≅W,M=K⊕K′.特别的,若W是Dedekind有限的.则W≤⊕M.

证明1) 由文献 [9]中的定理1.2.8(3)可知.

2) ⟹ 由virtually正则模……