施烨

循环论证，用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误.比如，一个瘦子问胖子：“你为什么长得胖？”胖子回答：“因为我吃得多.”瘦子又问胖子：“你为什么吃得多？”胖子回答：“因为我长得胖.”胖子的回答真是令人啼笑皆非.他回答瘦子的第一个问题时，是以“吃得多”为理由的；而他回答瘦子的第二个问题时，又以“长得胖”为理由.胖子的回答能够解决瘦子的问题吗？当然不能.胖子的这种论证，就叫做“循环论证”，是说明不了任何问题的.

生活中要避免出现循环论证，数学中更不允许循环论证，避免落入“鸡生蛋，蛋生鸡”的往复论证.为此，学习数学要注意理好概念和规律的顺序，前后不能颠倒.

下面通过例题来讨论初中数学中循环论证的不妥之处，以期抛砖引玉.

例1 如图1，AD平分∠BAC，E为AD上的任意一点，EF⊥AB于F，EG⊥AC于H，求证：AF=AG.

分析：在这个题目中，大部分学生拿到手就会想到先用角平分线的性质得到EF=EG，然后就会不自觉地进入到循环论证的圈子中.

错误证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC.

∵EF⊥AB于F，EG⊥AC于H，

∴EF=EG（角平分线的性质）. ①

在Rt△AEF和Rt△AEG中，

EF=EG，AE=AE，

∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL）. ②

∴AF=AG

点评：上面的证明看似逻辑严谨、滴水不漏，事实上存在着循环论证的谬误.这也是笔者在教学中发现学生最容易犯的错误之一.我们一起来看看问题出在哪里呢？事实上，由角平分线的性质得EF=EG是没有问题的，但是这一结论是怎么得到的呢？如下：由∠EFA=∠EGA=90°，∠BAD=∠DAC，AE=AE，得△AEF≌△AEG，再得到EF=EG.从而看出①的结论用到了两三角形全等，而在②中三角形全等又由①得到.分析至此，可以清楚地看出……