邓文忠

圆中有一个结论，利用该结论可以求一类线段的最值.

结论圆外或圆内一点到圆上各点间的线段中，当线段所在直线过圆心时取得最值.

如图1、图2，若点P不在⊙O上，射线OP交⊙O于B，射线OP的反向延长线交⊙O于A，则点P到⊙O上各点之间的线段中，PB最短，PA最长.

简证设点Q为⊙O上异于A、B的任一点.如图1，当点P在⊙O内时，PB=OB-OP=OQ-OPPQ，即PA最长.当点P在⊙O外时，证明留给读者.

例1如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D在边AC上（不与A、C重合）且AD=4，连接BD，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，则线段CF长度的最大值为，最小值为.

解析在Rt△ACB中，AB=62+122=65.在Rt△DCB中，由斜边中线的性质得CF=12BD.要求线段CF长度的最值，只需求线段BD长度的最值.由题意，点D在以A为圆心、4为半径的圆上，如图3.设⊙A交AB于点M，交BA的延长线于N.

线段BD长度的最小值为BM=AB-AM=65-4；最大值为BN=AB+AN=65+4.所以线段CF长度的最大值为35+2；最小值为35-2.

点评依据旋转点到旋转中心的距离不变想到了构造圆，转化为点与圆的最值问题.

例2（2012义乌）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.

（1）如图4，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图5，连接AA1、CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图6，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.

解析（1）∠CC1A1=90°；（2）254；

（3）如图7，由旋转变换的性质知动点P1在以点B为圆心、BP为半径的圆上，而点E是个定点，故当直线EP1过圆心B时取得最值.

如图8，过点B作BD⊥AC，D为垂足.因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上.在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=522.

①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为EP1=BP1-BE=BD-BE=522-2；

②如图9，当P在……