1前言

命制试题对初中数学教师而言，一方面需要教师深入理解《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定的课程内容及其所倡导的考试评价理念；另一方面教师要熟悉数学试题命制的原则、程序、方法、技巧、策略等.为了在教学中快速高效地命制出一些内涵丰富、形式新颖、别具一格的试题，笔者在这方面做了一些有益的尝试：注重提炼几何模型，以几何模型作为命制几何试题的源头与活水，不但可以快速高效地命制出一些优秀的几何试题，而且可以提高教师的命题能力.本文以“共顶菱形”图形为模型，说明几何模型在命题技术中的运用，不妥之处，恳请读者批评指正.

2利用几何模型命制试题的思路历程

2.1模型的提炼

历年的中考试题或教材上的例题都是经过专家反复打磨、精雕细琢而来的精品资源，每一道试题或例题中都蕴含着某些特定的数学思想与方法，教师可从这里提炼几何模型.

例1（2012年湖北恩施）如，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（）.

A.3B.2C.3D.2

解析因为∠A=120°，所以∠ABC=180°-120°=60°.利用三角函数易求得菱形ABCD的边CD上的高为2sin60°=3，菱形ECGF的边CE上的高为3sin60°=332.

所以S△BDF=S梯形CDFG+S△BCD-S△BGF

=12×（2+3）×332+12×2×3-12×3×（3+332）=1534+3-1534=3.

故选A.

点评本题以两个具有一个公共顶点的菱形为基本模型，主要考查了菱形的性质、锐角三角函数、三角形面积、梯形面积的求法等知识.由于△BDF的面积不易直接求得，故而采用间接求法：利用某些特殊图形的面积来表示△BDF的面积，这种方法是求不特殊图形面积的一种通法.

本例中所涉及的几何图形简洁优美，内涵丰富，不妨称之为“共顶菱形”，即具有公共顶点的菱形称之为“共顶菱形”.以此图形为模型可以命制出与之类似的几何试题，它可以作为命制同类几何试题的源头与活水.为了能够以“共顶菱形”图形为模型命制出形式新颖、内涵丰富的几何试题，就必须熟知“共顶菱形”图形中最基本的两类关系：一是有关图形的面积与菱形边长、内角之间的关系；二是有关线段之间的数量关系及位置关系.

2.2探究几何模型中有关几何量之间的关系

2.21“共顶菱形”图形中有关图形的面积与菱形的边长、内角之间的关系

笔者在几何画板中画出了，利用几何画板中的“度量”功能测量出阴影部分的面积后，改变菱形ECGF的边长，结果发现阴影部分的面积始终保持不变，这引起了笔者探究的兴趣.经笔者探究发现，中阴影部分的面积与菱形ECGF的边长没有关系，只与菱形ABCD的边长及菱形内角的大小有关.计算阴影部分的面积时，虽然菱形ECGF的边长参与了运算，但对运算结果不产生任何影响.因此，试题中给出菱形ECGF的边长为3，这是一个多余的数据.

如，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为m和n，∠ABC=α，点B、C、G在同一直线上，点C、D、E在同一直线上，求图中阴影部分的面积.

解析如，过点B作BN⊥FG，交FG的延长线于点N，延长EC交BN于点M.

根据已知，易求得BG=m+n，∠BGN=∠BCM=∠ABC=α.所以BN=BG·sin∠BGN=（m+n）sinα，BM=BC·sin∠BCM=msinα.

所以MN=BN-BM=nsinα.

所以S△BDF=S梯形CDFG+S△BCD-S△BGF

=12（CD+GF）·MN+12CD·BM-12FG·BN=12（m+n）·nsinα+12m·msinα-12n·（m+n）sinα=12m2sinα.

由此可知，阴影部分的面积与菱形ECGF的边长没有关系，只与菱形ABCD的边长及菱形内角的大小有关.特别地，当菱形变为正方形时，∠ABC=90°，此时阴影部分的面积为12m2.

在中，若连接AG、GE、AE，得到△AEG，这个三角形的面积是不是也只与其中一个菱形的边长及菱形的内角有关呢？

如，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为m和n，∠ABC=α，点B、C、G在同一直线上，点C、D、E在同一直线上，连接AG、GE、AE，求△AEG的面积.

解析如，过点G作GN⊥AB，垂足为点N，GN交CE于点M.

根据已知，易求得BG=m+n，∠ECG=∠ABC=α.

所以GN=BG·sin∠ABC=（m+n）sinα，GM=CG·sin∠ECG=nsinα.

所以MN=GN-GM=msinα.

所以S△AEG=S梯形ABCE+S△CEG-S△ABG

=12（AB+CE）·MN+12CE·GM-12AB·GN=12（m+n）·msinα+12n·nsinα-12m·（m+n）sinα=12n2sinα.

由此可知，△AEG的面积与菱形ABCD的边长没有关系，只与菱形ECGF的边长及菱形内角的大小有关.特别地，当菱形变为正方形时，∠ABC=90°，此时△AEG的面积为12n2.

2.22“共顶菱形”图形中的线段关系

根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”及“共顶菱形”图形中两个菱形的特殊位置关系，可从公共顶点出发连接两条对角线，形成一个直角.一方面，可以命制与勾股定理或菱形面积有关的试题，另一方面，可引入圆，命制与90°的圆周角有关的试题.

2.3以几何模型中有关几何量之间的关系为对象命制试题

2.31以“共顶菱形”图形中的面积关系为对象命制几何试题

由以上发现的有趣结论，可命制出类似的几何试题.

例2如，四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，点B、C、G在同一直线上，点C、D、E在同一直线上，以点C为圆心，以CG的长为半径画弧EG，连接AG、AE，已知菱形ECGF的边长为5，∠ABC=60°，求图中阴影部分的面积.

解法提示设菱形ABCD的边长为m.

根据已知，易求得，梯形ABCE的高为msin60°=32m，△ABG的边AB上的高为（m+5）sin60°=32（m+5），S△ABG=12×m（m+5）sin60°=34m（m+5），S扇形CEG=60π×52360=256π，S梯形ABCE=12×（m+5）×32m=34m（m+5）.由S阴影=S梯形ABCE+S扇形CEG-S△ABG易知，S阴影=256π.

命题意图本题主要考查菱形的性质、锐角三角函数、三角形及梯形面积的求法、扇形的面积公式等知识点，由于图中阴影部分不是规则图形，故需利用三角形、梯形、扇形等特殊图形的面积表示阴影部分的面积，这是求不规则图形面积的常用方法.图中阴影部分的面积只与菱形ECGF的边长及菱形中较小的内角有关，与菱形ABCD的边长无关，但为了解题方便，还需设出菱形ABCD的边长，故而本题也考查了“设而不求”的解题方法.

例3如，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和5，点B、C、G在同一直线上，点C、D、E在同一直线上，以点D为圆心，以AD的长为半径画弧AC，连接AF、CF，已知∠ABC=60°，求图中阴影部分的面积.

解法提示如，过点C作CN⊥AB，垂足为N，NC的延长线交FG的延长线于点M，则CM⊥FM.根据已知，易求得CN=BC·sin60°=332，CM=CG·sin60°=532，MN=43.所以S菱形ABCD=AB·CN=932，S△CFG=12FG·CM=2534，S扇形ADC=60π×32360=3π2，S梯形ABGF=12（AB+FG）·MN=163.

所以S阴影=S梯形ABGF-S△CFG-（S菱形ABCD-S扇形ADC）

=163-2534-（932-3π2）

=2134+3π2.

命题意图本题主要考查菱形的性质、锐角三角函数、三角形及梯形面积的求法、扇形面积公式等知识点，主要考查学生灵活运用三角形、梯形、扇形等特殊图形的面积求阴影部分面积的能力.

对以上图形可做进一步变化，得到一系列新图形，利用这些图形可命制一系列试题，限于篇幅，这里不再赘述，请读者自行设计.

如果将以上图形放置于平面直角坐标系中，将几何问题代数化，可以命制出立意新颖、内涵丰富的规律探索问题，这类问题对学生数学思维能力的培养具有很好的作用.

例4如，在平面直角坐标系中，边长不等的菱形依次排列，每个菱形都有一个顶点落在函数y=33x的图像上，且菱形中有一个内角为60°，从左向右第3个菱形中的一个顶点A的坐标为（8，3），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn.若Sn=k24n-8（n为正整数），求k的值.

解法提示因为函数y=33x的图像与x轴的夹角为30°，所以直线y=33x与菱形的边围成的三角形是底角为30°的等腰三角形.因为A（8，3），所以第三个菱形的边长为23，第二个菱形的边长为3，第一个菱形的边长为32.由此规律可知，第n个菱形的边长为32·2n-1，第2n-1个菱形的边长为32·22n-2.Sn为第2n个与第2n-1个菱形中的阴影部分，由“共顶菱形”图形中的面积关系可知，Sn=12（32·22n-2）2·sin60°=33·24n-8，又因为Sn=k24n-8，所以k=33.

命题意图本题将“共顶菱形”图形放置于平面直角坐标系中，以规律探索题的形式主要考查菱形的性质、三角形的面积、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，具有很强的探索性.本题主要考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力，可作为数学竞赛之用.

类似于，将～5放置于平面直角坐标系中，还可命制一系列规律探索问题，请读者自行设计，这里从略.如果将中的菱形特殊化为正方形，可以命制出一系列立意新颖、内涵丰富的规律探索问题，这类问题对学生数学思维能力的培养具有很好的作用.

例5（2014年江苏盐城）如，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为.（用含n的代数式表示，n为正整数）

解析因为函数y=x与x轴的夹角为45°，所以直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形.因为A（8，4），所以第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1.由此规律可知，第n个正方形的边长为2n-1，第2n-1个正方形的边长为22n-2.Sn为第2n个与第2n-1个正方形中的阴影部分，由“共顶菱形”图形中的面积关系可知，Sn=12（22n-2）2=24n-5.

点评本题考查了正方形的性质、三角形的面积、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，依次求出各正方形的边长是解题的关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长.

改变中阴影三角形的位置，可得到，由此可编拟如下试题：

例6如，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为.（用含n的代数式表示，n为正整数）

解法提示由例5知，第n个正方形的边长为2n-1.Sn为第n个与第n+1个正方形中的阴影部分，由“共顶菱形”图形中的面积关系可知，Sn=12（2n-1）2=22n-3.

改变中阴影三角形的构造方式，可得到如下试题.

例7如，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为.（用含n的代数式表示，n为正整数）

解法提示由例5可知，第n个正方形的边长为2n-1，第n+1个正方形的边长为2n.Sn为与第n个和第n+1个正方形相关的阴影部分，由“共顶菱形”图形中的面积关系可知，Sn=12（2n）2=22n-1.

命题意图以上两例均以“共顶菱形”图形为模型，将模型中的菱形通过特殊化策略转化为正方形，再借助于平面直角坐标系，以规律探索题的形式主要考查正方形的性质、三角形的面积、一次函数图像上点的坐标特征等知识点，具有很强的探索性.通过规律探索活动，不仅可以考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力，而且可以提高学生的数学素养.要正确解答以上试题，一方面要理清图中阴影部分的面积与正方形边长的关系；另一方面要能够用含有n的代数式表示这一系列正方形的边长，这两个方面是解决本题的关键所在，也是本题考查的重点之处.

对～9可进一步变化，得到一系列新图形，由此也可命制一系列规律索问题，请读者自行设计，此处从略.

在“共顶菱形”图形中，除了上述面积关系之外，“共顶菱形”图形中的线段关系也颇为有趣，以这些线段为对象也可命制出内涵丰富的几何试题，这些试题可作为中考或竞赛之用.

2.32以“共顶菱形”图形中的线段关系为对象命制的几何试题

例8如0，四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，点B、C、G在同一直线上，点C、D、E在同一直线上，连接AF，点H是线段AF的中点，连接CH.求证：CH=12AF.

证明如0，连接AC、CF.因为四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，所以AC平分∠BCD，CF平分∠ECG.

又因为点B、C、G在同一直线上，所以∠ACF=12（∠BCD+∠ECG）=90°，所以△ACF是直角三角形.因为点H是线段AF的中点，所以CH=12AF.

命题意图本题以“共顶菱形”图形为模型，主要考查两方面的知识，一是菱形的性质：菱形的每条对角线平分一组对角；二是直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.通过本题的证明，考查学生最基本推理论证能力，需要学生具有最基本的几何素养.解答本题的关键是构造三角形，然后根据已知及所学知识证明所构造的三角形是直角三角形，这也是解答本题的难点之处.

01例9如1，四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，点B、C、G在同一直线上，点C、D、E在同一直线上，EG交BD的延长线于点H，连接AH、HF、CH.求证：点A、H、F三点在同一条直线上.

证明如1，连接AC、CF.由菱形的性质易知，BH垂直平分线段AC，EG垂直平分线段CF，所以AH=CH，CH=FH，故AH=CH=FH.所以点A、C、F在以点H为圆心，以AH为半径的圆上.因为四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，所以AC平分∠BCD，CF平分∠ECG.又因为点B、C、G在同一直线上，所以∠ACF=12（∠BCD+∠ECG）=90°，所以AF是⊙H的直径，即点A、H、F三点在同一条直线上.

命题意图本题以“共顶菱形”图形为模型，主要考查菱形的性质、直角三角形的判定和性质、圆周角的性质等知识点，考查学生最基本的几何证明能力，本题可作为竞赛之用.

3命题感悟

3.1关注中考试题中内涵丰富的几何模型

历年中考试题中有许多经典的几何试题，每一道试题都蕴含着某些特定的数学思想与方法，它对数学教学具有很强的导向作用.教师在教学中不可无视这些课程资源的存在，不可采取对其全盘否定的态度，要善于引导学生探索一些优秀试题中体现的几何模型的性质，提高学生的解题能力.学生在解题中合理地使用几何模型，可使复杂的问题简单化，起到事半功倍的作用.教师要善于研究几何模型的性质，这是命制几何试题的源头与活水，它可以提高教师命制试题的能力.只有在熟知几何模型的性质的情况下，命题时才能根据学生知识水平命制出内涵丰富的试题.因此，在教学中要多关注历年中考试题中内涵丰富的几何模型，以此提升教师的命题能力.

3.2重视几何画板或超级画板在命题中的应用

几何画板或超级画板不仅是作图工具，而且它是发现几何命题，验证几何命题合理性的有效工具.命制几何试题或与函数图像有关的试题时，几何画板是不可或缺的作图工具，利用几何画板中的“度量”功能可度量线段的长度、角的大小、图形的面积，也可利用作图工具验证三点共线、多线共点等，命题者据此可判断所命制的几何试题是否正确，结果是否合理.在历年中考试题中，经常出现几何图形不规范、函数图像错误等现象，这都是由于命题者没有根据试题中的数据运用作图工具画图，而是凭借经验随便画出的图形，影响了试题的严谨性，有时还会出现试题中所描述的图形根本就不存在的错误，如2014年湖北随州市中考数学第9题中所描述的三角形根本不存在.

作者简介张宁，男，1979年8月生，宁夏彭阳人，中学一级教师，中卫市第二届、第三届市级骨干教师，中卫市优秀班主任，中卫市优秀教育工作者.主要从事中考数学、竞赛数学解题研究与几何不等式研究，在《中学数学杂志》等多家刊物发表文章近100篇，论文《聚焦一元二次方程的整数解问题》获宁夏第二届优秀教育科研成果二等奖.