李树臣

如何提高数学教学质量的问题是一个非常复杂的系统工程，这既是理论研究问题，也是一个实践问题；既有认识方面的问题，更有操作层面的问题.课堂是师生共同完成教学任务的主阵地，如何设计数学课堂，才能不断提高课堂教学效益呢？

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》指出“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”这便是指导我们进行教学研究、教学改革的“总方针”.笔者在认真研读上述要求的基础上，结合自己的教学实践，认为教师在设计数学课堂时，应重点在以下几个方面下功夫：

1激发学生的学习兴趣

古人云：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”爱因斯坦有句至理名言：“兴趣是最好的老师.”数学家陈省身曾经说“数学好玩.”这些至理名言都说明一个道理，数学教学必须把培养学生的学习兴趣放在首位.有兴趣的学习活动，一定会大大提高学习效率.我们经常听到老师抱怨学生不愿意学数学的“声音”，其根本原因在于教师没有引发起学生对数学的学习兴趣.教师应在研究教材与学生的基础上，对教学内容进行“二次加工”，结合具体内容创设能激发学生学习兴趣的教学情境，有效地调动学生主动参与教学活动，使其学习的内部动机从好奇逐步升华为兴趣、志趣、理想以及自我价值的实现.

案例1你能判断吗？

学生在学习证明前，已经利用观察、实验、归纳和类比等方法通过合情推理得到过一些数学命题，但用这些方法得到的命题不一定都是真命题.为此，可让学生观察两条线段是否平行？图两个粗线黑框是正方形吗？

这样引入，学生非常感兴趣，他们观察后，积极发表自己的观察结果.由于受背景的干扰，常常会产生错觉，得到错误的判断.

事实上，两条线段是平行的，但由于背景的干扰，许多同学往往认为它们是不平行的.两个粗线黑框实际上都是正方形，由于背景线条的干扰，很可能会产生变形的错觉.

在学生议论、交流的过程中，教师适时总结：

我们通过合情推理得到的结果，有些是正确的，有些不一定正确.要确定命题的正确性，还需要一步一步有根据地说明理由，通过推理的方法加以证实.在数学学习中，要抛弃直觉的偏见，需要敏锐的观察和科学的思维.只有摈弃“想当然”，才能识别假象.从而轻松愉快地引入学习课题——为什么要证明.

2引发学生进行积极的数学思考活动

《课标（2011年版）》非常重视对学生进行数学思考教育，在“总目标”中指出，要让学生学会“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”数学思考是数学教学中最有价值的行为，无论是题型模仿，类型强化，还是技能操练都离不开数学思考.因为学生只有通过数学思考才能发现问题，进而提出问题、分析问题和解决问题；只有通过数学思考，学生才能真正感悟到数学的本质，从而在创新意识上得到发展.

案例2你能找到2015的坐标吗？

将自然数按图3中的规则，每个自然数都对应一个坐标，如数3对应的坐标是（1，1）.则数2015对应的坐标是.

图3析解此题主要考查学生通过观察、思考、探究、发现有关规律的能力.经过思考可以发现许多规律：如奇数的平方都在第四象限的角平分线上，而且在每个数所在的边上，它的左边的数的个数（包括本身）等于这个奇数.由此，我们找出数2015所对应的坐标.因为452=2025，所以2025的坐标是（22，-22）.2015=2025-10，所以2015的坐标是（22-10，-22），即（12，-22）.

让学生学会思考的重要性不亚于学会知识本身.这种“运用数学的思维方式进行”的思考实质上就是“数学方式的理性思维”.它有丰富的内涵，包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，包括合情推理和演绎推理，等等.教学中让学生学会思考，就能形成用数学的眼光看世界，从数学的角度去分析问题的素养，这种基本的素养能使学生终生受益.

3引导学生进行探究发现活动

《课标（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”数学学习本身就是一个师生共同参与探究的过程，对于定理、性质、运算律、公式等知识的学习，教师应从学生已有的认知发展水平和已有的经验出发，遵循“由特殊到一般”的规律，结合具体的学习内容，精心设计一系列的问题，引导学生围绕这些问题进行实验、观察、分析、综合、计算、推理、判断等数学活动，在活动的过程中自主发现知识，从而得到有关的结论.

案例3平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的探究发现过程.

首先引导学生取一张硬纸片，剪一个边长为a的正方形，并且在上面剪去一个边长为b的小正方形（a>b），如图4所示.然后让学生思考并回答下面的问题：

（1）剩下部分（阴影部分）的面积为；

（2）把剩下的部分（阴影部分）沿着虚线剪开，用这两部分能拼成一个什么样的图形？

（3）计算出拼成的图形的面积是；

（4）由此你能得到一个什么公式：.

图4图5学生对问题（1）很容易得到阴影部分的面积为a2-b2.（2）通过尝试拼成如图5所示的梯形.（3）根据梯形面积公式，得到12（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.（4）a2-b2=（a+b）（a-b）.

学生在动手、操作、计算、比较等一系列数学活动的过程中，不仅能通过独立探究得到平方差公式，还能体验到问题到结论和方法之间的精彩过程，感悟数形结合思想的“魅力”.最重要的是学生通过经历这样的探究活动，能逐渐形成用数学思想和方法去观察、分析、发现、猜想数学结论的良好习惯，理解和领悟数学知识的实质.

学习数学的最好方法是做数学.因为学生在经历有关数学活动过程的同时，不仅能通过探究发现有关的数学知识，从中领悟到这些知识的形成过程，增强学习的主动性，而且还能发展其合情推理能力和初步的演绎推理能力，有条理地、清晰地阐述自己的观点.

4鼓励学生充分发表自己的见解

课堂教学中，提问学生是常有的事情，主要目的是检验学生对所学知识的理解和掌握情况，以便于更有效地进行课堂教学.对于提问，大多数教师希望学生的回答是“标准”的，不愿意出现错的答案，特别是各种公开课和讲课比赛中，执教教师最不愿让同行们看到学生的回答出现任何问题.常见的情况是，如果学生回答错了，教师采取的办法就是快让学生坐下，以免让同行“见笑”，从而怀疑自己的“水平”.很少有让学生说说自己为什么是这样回答的，事实上，这是一个帮助学生理解并掌握所学知识的好机会，可就是这样一个“难得”的机会却被大部分教师白白的放弃掉了.刘坚教授曾反复强调，在数学教学中一定要给学生充分表达、呈现自己想法与困惑的机会，特别是出现不“标准”或不正确的解答时，更应该如此.他举过下面的一个例子：

案例4“（-3）×（-4）等于多少？”（片段）

老师讲完有理数运算法则后问：“（-3）×（-4）等于多少？”

一个学生说：“等于9.”

师：“好的，请坐.”

另一个学生说：“等于12.”

老师说回答很好.

这是一个非常简单的问题，在引导学生学习完有理数的乘法法则后，绝大部分学生都能得到正确答案.这个问题的价值不在于学生回答正确与否，而表现在下面的跟踪调查：

课后调查第一个学生为什么会得出9，让他说说是怎么做的.

该学生说，先从数轴上找到-3这个点，从此出发，向相反方向移动4次，每次3个单位，也就是4个3，于是得到9.

“多么好的数学思维，尽管结果是错的.然而，因为结果是错的，学生往往就没有机会表达自己的想法.而另一个学生按规则做，做对了，就可以得到表扬，这会鼓励怎样的学习文化？”

刘坚教授引述著名数学家、数学教育家波利亚的话说：“教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么则更加千百倍的重要.”《课标2011年版》指出，在教师实施教学方案的过程中“师生双方往往会‘生成一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整方案，使教学活动收到更好的效果.”这些生成资源包含“正”“反”两个方面，教师不仅要重视正面的资源，更要重视对所谓“反”面资源的利用.

5引导学生关注四个重要过程

《课标2011年版》指出“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.”数学教学必须让学生参加活动，经历过程.我们所说的“过程”主要包括两个方面：一是发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理，把一个实际问题转化为数学问题.这是一个“数学化”过程；二是在数学范畴内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理.从符号一直到尝试建立、处理和使用不同的数学模型，发展更为完善、合理的数学概念框架，这是一个处理数学模型的过程.学生通过这样的活动过程，可以理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得和应用的.这些过程主要指：

5.1知识的发生发展过程

我们历来十分重视对基础知识的教学，但存在着“重结果、轻过程”的现象，如果长期采用这种教法，学生就难以学会独立思考，无法体会到一些数学基本思想的作用，形成不了正确的思维方式.例如，数学概念是重要的数学基础知识，许多老师对概念的教学采取的是“定义+例题”的方式，实质上是在“满堂灌”，最后只能导致学生是“知其然，但不知其所以然”.事实上，一个概念的形成往往与学生的思考、探索等活动融合在一起，密不可分.所以，在数学概念的教学中，教师一定要引导学生经历这个概念的建立过程，不可错失培养学生数学思考的良机.

5.2知识的应用过程

我们知道，学习数学的主要目的是利用数学知识解答所遇到的实际问题，在解答这些问题的过程中，形成并发展同学们的数学能力，养成用数学的眼光看待问题的习惯，从而促进数学素质的提高.教学中除了突出知识的形成过程外，还要重视知识的应用过程.在引导学生探索和发现新的数学知识后，都要设计运用新知识解决问题的活动.

对于用数学知识解决问题的活动，教师要落实《课标2011年版》提出的“这样的活动应体现‘问题情境——建立模型——求解验证的过程”的要求.首先从实际问题情境中提出系列问题，把问题抽象为数学问题，运用文字、图形、数学符号等各种数学语言表达问题，然后引导合作探究建立解决问题的数学模型，运用数学方法求出数学模型的解，从而得到实际问题的解.在这种解决实际问题的过程中，不但使学生明确了知识的形成、发展和应用，而且通过丰富多彩的数学化活动展开了学生的思维过程，使他们在观察、实验、猜测、验证、推理、交流的过程中学会探索新知，学会数学地思考.

5.3综合实践活动的过程

“综合与实践”反映了数学课程与教学改革的要求，它是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.他向学生提供了一种实践性、探索性和研究性学习的课程渠道，具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性等特点.这种活动沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系，使学生在学习过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法成为可能.是帮助学生积累数学活动经验、培养应用意识与创新意识的重要途径.针对问题情境，学生综合运用所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学内容的理解.所以说，有针对性地开展综合与实践活动有益于提高学生的综合能力.

5.4数学活动经验的积累过程

数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.在数学教学中，帮助学生不断积累数学活动经验是重要的教学目标之一.《课标（2011年版）》指出“数学活动经验需要在‘做的过程和‘思考的过程中积淀，是在数学学习活动中逐步积累的.”事实上，“活动经验”与“活动”密不可分，没有“活动”就没有“活动经验”.这里的“活动”是“手、脑、口”并用的活动.简言之，学生只有积极参与数学教学的过程，经过独立思考、实践探索、合作交流，才有可能积累数学活动经验.

例如，对于函数，初中阶段主要研究一次函数（含正比例函数）、反比例函数和二次函数.针对这几种具体的函数，学生首先学习的是一次函数，在学习完一次函数的有关知识后，通过系统梳理、总结，便可积累以下四种基本的数学活动经验：

（1）函数的研究过程经验：抽象函数模型——给出函数定义——画出函数图象——研究函数性质——应用函数知识解决实际问题.

（2）函数性质的研究经验：借助函数的直观图象用数形结合的方式来研究函数的性质.

（3）数学抽象的活动经验：学生在函数知识的学习中要经历两次抽象的过程，一是从实际问题情境中抽象得出函数概念模型；二是在函数概念模型的基础上进一步归纳形成抽象的函数概念.

（4）应用函数的知识分析问题和解决问题的活动经验.

有了这些数学活动经验，学生就可以凭借他们轻松的学习反比例函数和二次函数的有关知识.事实上，这些数学活动经验还可以在高中阶段和大学阶段的函数学习中发挥积极的作用.因此，教学中应引导学生不断地积累和总结数学活动经验，并且将其创造性地应用到新内容的学习过程中去.

要很好地体现和落实《课标（2011年版）》的基本理念，教师在设计课堂教学时要做的事情很多，但笔者认为，以上几个问题是最为关键的问题，只要教师在教学中时刻把学生的发展放在第一位，努力按照数学教学活动的特点，组织教学，就一定能够实现不断提高数学教学质量的目标.