张劲松

2013年1月13日—5月11日，笔者到美国肯塔基州Murray State University（MSU）进行为期四个月的访学.Murray位于肯塔基州西南部，在肯塔基、田纳西、密苏里和伊利诺伊四州的交界处.MSU是一所四年制、具有师范特色的公立大学，成立于1922年.访学期间，笔者研修了三门课程，参观了三所学校，有些许感触和体会.

笔者长期从事中学数学课程教材研究、编写和编辑工作.学生为什么要学习数学？要学习哪些数学？教师如何教数学？学生如何学习数学？教师专业化成长的途径是什么？我们如何进行教材多样化的建设？等等.这些问题一直萦绕在自己的脑海中，促使自己思考.在MSU的四个月，给了自己思考的时间、空间和氛围，努力探求这些问题的答案.只有这样，才能推动自己的本职工作，编写高质量的教材，更好地服务广大教师和学生.

1师资培养与课程设置：针对性强、理论与实践性结合紧密

1.1三门研修课

在MSU笔者研修了三门课：两门数学课、一门教育课.两门数学课：一门是未来小学和初中老师的必修课《mathematics for middle and elementary teachersⅡ： mathematical reasoning》（《数学推理》），另一门是未来高中数学老师的必修课《sets，logic and functions》（《集合、逻辑和函数》）；一门教育课：《advanced strategies of teaching in the middle grades》（《中学高级教学策略》），这门课程的实践性很强，不同学科专业的学生集中一起上课，每个学科专业作为一组，主要内容是学科课程单元和每堂课的评价设计、课堂管理策略以及学科课程教学的技巧等等.

四节研修课实例：

“三线八角”课.这节课讲了外错角，在证明完三角形的内角和定理后，老师又拓展了一下，讲到球面三角形的内角和，过渡很自然，讲述很直观，从地球的赤道、南北极、0°经线、180°经线，直观说明球面三角形的内角和大于180°.当然，这堂课最重要的是statement and reason（结论和理由）要分别表述，用我们的话来说就是言必有据.这节课的学生将来主要做小学和初中教师.

operations and properties（运算及其性质）课.中间讲到运算的封闭性，以及加法和乘法的单位元，代数味道很浓，很多地方用矩阵运算作为反例.这节课的学生将来主要从事初中和高中数学教师工作.

一节教学策略课，确切地说，这节课的主题是内容标准与教学要求.课堂上的学生来自不同的专业：数学、科学、语言和社会.老师布置的任务是根据每个学科的内容标准，确定每个学科的教学要求.看到学生手头的材料，这不是一个难题.学生把手头的内容标准，用直观的方式表达出来即可，6年级、7年级和8年级的具体要求是什么.与科学、社会、语言等学科不同，数学的要求显然是螺旋上升的.在这三个年级，内容都是：比率和比例关系、数系、表达式和方程、函数、几何、统计和概率；每个年级的要求不同，要求主要是：理解、应用和解决问题，应用主要指数学内容之间的联系.

长度、面积和体积：量和单位的换算课.这种类型、这种内容的课，放在国内，我们肯定说，这太小儿科了，这不是我们小学阶段讲的内容吗？美国大学还弄这些玩意，啥意思？此话不假，确实我们小学阶段学过，学生也会换算，而且做了大量的题目，随便出一个问题，我们的学生肯定没有问题.

仔细琢磨起来，有值得研究的地方.一方面，对我来说，美制单位是全新的，在它面前，我是个小学生；另一方面，从单位的换算上，如何消去单位，如何由一维的长度，到二维的面积、三维的体积，这里面蕴涵着数学知识及思想方法.面积和体积是怎么定义的？平方、立方是如何得来的？这些既是生活常识，也是数学发展的脉络之一.生活常识不用说了，说是数学的发展脉络之一，多啰嗦几句.单位长度是个原始定义，这是起点，单位面积、单位体积是在单位长度的基础上定义的：边长为一个单位的正方形的面积，我们定义为单位面积；棱长为一个单位的正方体的体积，我们定义为单位体积.有了单位面积和单位体积，我们才能度量物体在二维和三位空间中所占的大小.在这个定义的过程中，我们进行了一步和两步乘法的运算，相应地，单位也进行了乘法运算，一步的是平方，两步的是立方，这样多大的面积、多大的体积就出来了.这个说清楚了，一维到二维、三维的过渡，就非常自然了.果不其然，这堂课就是这么讲的.挺有意思、挺有思想.尽管现在有很多单位换算器的小软件，很容易解决所有问题，但是从数学的角度多了解一些，丰富我们的理性思维，不也很好吗？！

我们知道很多量和单位的换算，从数学角度看，都是正比例关系，可以用正比例函数描述.但是华氏度和摄氏度的转换正比例函数就不行了，这时要用到一次函数f=18c+32，或c=5（f-32）/9，此时教师讲到一次函数的性质和图象.

1.2师资培养与课程设置

通过研修这三门课程不难发现，它们的针对性很强，学生是未来的教师；理论与实践结合紧密，学科课程与教学实际联系密切.在研修中，我始终在考虑我们的师资培训问题，之所以谈这个话题，是因为教师在教育中的作用太大了，教师是培养人的行业，传道、授业、解惑.发展靠人才，人才在教育，教育的关键在教师.

从大的范畴看，现在我们的师资培养分为职前教师培养和职后教师的继续教育.职前教师培养机构，国内太多了，师范大学、师范学院，不带师范字样但以师范为特色的大学，还有一些综合性大学、理工科院校，说至少上百所，不为过.职前教师培养机制大致相同，第一年学科专业基础课，第二年、第三年学科专业课，最后一年教育心理、学科教学课程，再加上教学实践.

多年以来，师范大学向综合大学靠拢，似乎提高自己的品味和品质，纳百川，容天下.一些重点师范大学，非师范专业超过师范专业，还有一些师范大学，终于摘掉了自己头上“师范”的帽子，名称上成为综合大学.很长时间，充斥着“师范性”与“学术性”的讨论，甚至争论.两者似乎水火不容，师范似乎与学术不搭边，学术中似乎没有师范，学术如果搭上师范，似乎从专卖店到了大卖场，降低了层次，降低了品味.但是，不得不承认的一个事实是，我们师范特色的很多课程，经验型的居多.经验基础上的理论概括，或者说基于脑科学研究基础上的教育心理学薄弱，是我们无法回避的，我们自己确实做的不好.

靠拢的原因，分析一下，无外乎招生、就业、大学教师自身的社会认同感等因素.非师范专业能招到好学生，非师范专业的学生能找到好工作，综合大学的教师社会认同感强.学校从自身发展角度着眼，这么做无可厚非.但是，从另外一个角度看，我们似乎丢了自己的职责.为什么这么讲？

以师范大学数学教育专业为例，它的主要任务是为基础教育培养合格、优秀的师资，培养我们的下一代.为未来一代传承知识，获取必要的学习能力，形成健康、向上的情操，为进一步了解世界、认识世界、发展世界打开一扇窗户.教书育人，是崇高的社会劳动，辛勤的园丁、灵魂的工程师，这些称呼，一点都不为过.这种专业职责和社会期盼，对职前教师的培养提出了很高的要求，其重要性如何表达都不为过.

看看我们怎么做的.第一年专业基础课，这个专业是数学，课程是：数学分析、空间解析几何、高等代数；第二年，专业课，这个专业仍然是数学，课程是：常微分方程、微分几何、抽象（近世）代数、大学物理；第三年，课程是：实变函数、复变函数、高等几何、点集拓扑、概率论、数理统计等.当然这三年还有大学英语、计算机、大学语文、政治类课程.最后一年，数学教育类课程：数学教学论、数学教育心理学、数学课程论等，当然还有教学实践，到中学听课、讲课.毕业，两个月后，到中学任教.这是我们的“生产线”.

从课程设置上来说，有问题吗？似乎不大，但是从实际效果看，问题多多.接受的数学专业的训练，够吗？我想这些科目如果深入下去，足够了，数学教师，重要的当然是数学的训练和素养，没有数学，教学无法谈起，因为我们是教数学；数学教育专业的素养咋样？当然比数学差，毕竟这个专业的实践性强，没有时间，没有实践，没有积累，肯定是不行的.抛开这个因素不提，仅仅是数学教育的理论，够了吗？当然不够，太少了.特别是如何从高观点看中学数学内容，把中学数学的内容放在现代数学的眼睛里，我们能够看到什么.这方面我们做的不够.

上面说的太抽象，拿个例子说明.代数最重要是运算和运算律，数、式、方程和不等式的变形，其实就是运算以及灵活运用运算律；几何很重要的功能是推理，借助直观的形象，研究合情推理、演绎推理，并给出严格的证明格式，通过推理，由主观世界认识客观世界.这就是数学的力量、知识的价值.我们数学教育类的课程，在这方面做的如何，我想不是很乐观.

一言以蔽之，我们应把中学数学课程中的核心内容，如数系、运算、证明、函数、可能性等，用现代数学的语言进行解读，用现代数学的眼睛认识它们，把握他们的内涵.先让它们飞起来，飞到巡航高度，然后慢慢降落到教材上，落实在教学中.我们有这方面的教材，但是需要发展，需要成为职前教师培养计划的核心课程.数学家，数学教授，在这方面可以大有所为.象牙塔里的自娱自乐，陶醉其中，是一种人生境界，很好.但是普渡众生，是更大的社会责任.M.克莱因、H.弗赖登塔尔、R.柯朗都给我们做出了很好的榜样.《古今数学思想》、《作为教育任务的数学》、《数学是什么》之所以成为数学教育的名著，是因为它们既能平稳起飞，又能安全降落.

职后教师培养的方式多种多样，日常的教研、集中培训等等，都是在提高教师的专业水平和教学能力，目的是推动教学质量的提高.我们每年都在做教材的培训，也是职后教师培养的重要方式.如果把职前教师培养看成上游，把教师的课堂教学看成下游，那么我们的职后教师的培养就处在中游，上、中、下游是一个有机的整体.怎么做好我们的中游？教师这个职业是个终生需要学习的职业，仅仅是一桶水不够了，还要有一眼泉，有继续发展的动力.由于教材本身的特点，教材培训涉及课程、教学和评价的方方面面，我们在这方面做了大量工作，投入了巨大的人力、物力和财力，反馈的效果也不错.但是从师资培养的角度讲，我们的层次还可以提高一些，在对课程教材全面解读，和教学深入研究的基础上，把握数学知识的内涵，进而形成我们的培训资料，发挥我们的学科研究和出版优势，作为教材培训的必备图书.这既是对我们教材培训资料的提升和发展，更是提高我们教材编写质量的重要途径，促使我们更好地研究数学和教学，把二者有机地结合起来.在这方面，我们有很多工作要做，这是我们的责任.

2对学生学习基础的思考：着眼于学生未来的发展

教育是未来的事业，我们必须着眼于学生未来的发展.从事基础教育的我们，如何处理好打基础与学生未来发展之间的关系，是工作中考虑的一个非常重要的问题.

学什么？为什么学？怎样学？这是我们工作的出发点和落脚点.我们面对的是学生，我们服务于学生：学习的内容，学习的目的，学习的方法.我们不仅要做教材的编写，而且要进行课程的研究，课程是上位的概念，教材编写要在课程的指导下进行.由于编写体制和工作性质的关系，现在我们依据课程标准进行教材编写.但是内容的问题，设置内容目的是必须清楚的.

现在是信息社会、开放社会.整个社会、整个互联网是个超级学校.但与过去相比，我们学习的内容没有太大的变化，啥原因？我想主要是这些内容太基础了，就像吃饭、喝水一样，这些是米、水，不论社会如何发展，这些是必须的，老祖宗吃饭、喝水，我们现在仍然要吃饭、喝水，未来也是这样，至少现在看是这样，所以数学的基础内容没有太大的变化.但是从课程研究，从教育本身的属性来说，从未来的发展来说，我们需要思考一些问题.

从数学课程研究的一个局部讲，数学基础内容是哪些东西？是课程标准规定的这些内容吗？仅仅是这些内容，还是这些内容可以更精简？毋庸置疑，抽象、推理和模型是最重要的数学思想方法.离散数学的内容：二进制、十进制、数列与递推；开关电路与布尔代数，图论：图形的分类与拓扑；微积分等等，这些内容是不是可以成为我们的基础内容？我们的数与式的运算，我们的几何证明，我们的解析几何，需要学习这么多吗？！高中课标的一些专题有些很好，可以讲的浅显直观一些，干嘛一定要讲透、讲所谓的数学家的清楚，不可能也没必要.这方面的研究，其实很薄弱.

当我们在做具体工作的时候，需要有自己的想法，提出自己的建议，写文章，阐述表达自己的观点.对基础内容的加入，我们的科学研究，需要有充分的论证.基于现在，更要基于未来的发展.也许有些专家认为，无所谓，只要把他们认为的基础学好了，其他一切顺理成章，驾轻就熟.是这样吗？其实有些高估了.

我们重要的是在学校的教育中给学生一扇窗户，让他们知道外面的世界，知道数学的广阔.意识远远要大于技能，做任何事情都是这样.但是思想意识的培养，需要灵感、悟性，需要过程、刺激，需要行万里路、读万卷书；需要学，更需要思.

为什么学习这些内容？当然要有充分的论证，其实还有些东西是直觉，没有太多的理由，第六感，这些其实也是非常重要的东西.经过一段时间的工作后，你会发现，演绎推理与合情推理并存，感性与理性并存，理智与情感并存，思辨与实证并存，这始终是矛盾的共同体，相依相存.它们可以在一个人头脑中打架，但是没有结果，没有谁被另一个击败，没有谁被另一个消灭.我们不能是非此即彼的思维方式.要论证内容的内涵是什么，要解读其现在的价值，更要解读其未来的价值.打开这扇窗户后，要引导学生透过它大概能看到什么，大概在多远的地方，大概什么时候能看到它，看到它后你又会看到什么等等.先迈出这一步，以后要靠自己，靠每个人的认识，更靠每个人的悟性.

怎么教？我们做了很多的研究、很多的工作，我们有很多这样的机构，教育学、心理学就研究这些事.怎么学？有一次与几位朋友聊天，说到9+6怎么算，就10个手指，低年级的小学生不灵了.我开玩笑说，脱了鞋，就没问题了.但是19+6呢？这是个难点.当学生能用1个手指表示10时，那么他的思维就飞跃了，这个飞跃不是件容易的事.1个手指就是1个手指，为什么可以表示10个手指呢？！这时这个手指不仅是一个具体的手指，更是一个抽象的手指了，字母表示数的思想就来了.这些是我们认知心理需要研究的问题.具体的、更多的需要教师琢磨，需要专家提供指导，让学生思考、理解、抽象、概括、推理.

多年来，我们对美国数学教育的一个基本看法是：基础差，学的宽泛，但是要求不高，“一英里宽、一英寸深”说的就是这个事.但是仔细琢磨一下，“一英里宽、一英寸深”是否也有其价值和存在的土壤？为学生认识未来世界多打开几扇窗户，开阔视野，不也很好吗？！我们需要辩证的看待这种提法.

3参观中学、观察课堂教学：深入体会教育是上层建筑

访学期间参观了三所中学，听了两节数学课，切实感受到教育是社会的上层建筑.

3.1教室&办公室

单从学校的硬件看，好像都是一个模子里刻出来的.教室&办公室、阅览室、体育馆、餐厅、洗手间、过道等等，都长的差不多.任课教师的办公室就是这门课的教室，教师不动，学生走动.上八年级数学课了，我就到八年级数学A老师的教室兼办公室.当然与国内的教室比，小了点，但是与国内老师的办公室比，那是大多了.教室&办公室的布置很有特点、很有气息，励志的话有，学生的作品有，教师的个人兴趣爱好也能体现出来.总之，环境氛围不像中国传统意义的教室.我们的教室一般比较素雅，行为规范、励志的话多，生活气息的东西少.这其实也是东西方文化差异的一个表现，我觉得没有啥好不好的问题，经济、社会发展程度不一样，文化背景也不一样，就像我们吃馒头，他们吃面包.教室&办公室的这种设置，主要还是学生少，班额不大，好弄.每个学生在过道里面都有一个带密码锁的大柜子，没有固定教室和座位，学科教材都放在教室&办公室里，学生走起来不费劲，自然没有问题.实际上，对于学生来说，上不同的科目到不同的教室，感受不同的环境氛围，从学生的角度看，色彩斑斓些，对大脑的刺激更深刻一些.这是从积极的角度说，学生没有固定教室的有益之处.从教师的角度说，自己的办公室是开放的，给了学生更多了解老师的机会，包括老师的性格和爱好.这是根深蒂固的文化.

3.2两节数学课

两节数学课：一节是全等的概念和性质，一节是两点间距离公式.全等的概念和性质这堂课，首先给出全等的概念和全等的性质，然后让学生标注全等图形的对应边和对应角，平移的三角形没有太大的问题，关于轴对称的两个四边形，出现些许问题；两点间的距离公式主要是运用这个公式求平面上两点间的距离，点的坐标都是有理数，没有无理数和字母，而且可以运用计算器.只就教学内容本身来讲，与国内比，教学容量小，教学要求不高.做比较研究，如果不放在政治、经济、社会、文化的背景下考虑，没啥太多可做的.但是，一旦放在这个背景下，这又不是教育本身的问题了.深入这儿的生活，渐渐体会到教育本身是社会的上层建筑，经济基础不同，差异大是必然的.物质决定精神，主观服从客观.说的真是太质朴、太有力了.来美国之前，尽管没有直接经验，但理性告诉我，没有太多的可比性；来之后，加深了这方面的认识.仅仅从几堂课的教学以及教育本身进行研究，没有意义.这主要是美国的评价考试机制与国内有着天壤之别，这是大家都明白的事实；再一个就是当地，主要是各个州的课程标准的具体要求，达到基本要求即可.而这不是单纯的一个教育本身的问题，我们的学习，在掌握知识的基础上，还要参加考试，进入上一个层次的学习，只有好的成绩才可以享受更多的优质教育资源.为了争取好的成绩，反复演练、拔高要求成了不二的选择，这就是现实的情况，这就是我们的上层建筑.

3.3教师与教学研究

由于教室&办公室的特点，决定了老师都是单帮，不像我们同一学科的老师集体办公、集体备课、集体教研，彼此之间至少从形式上说，探讨多，用的是相对统一集中的教案，因为它是集体智慧的结晶.与教师交谈，了解到这儿老师每天上课的时间，大概占了80%的时间，国内大概50%的时间.老师之间，即使同一学科的，彼此之间的业务交流都非常少.教师本身的资质，决定他们都能够胜任他们的岗位.美国对中学数学教师资质的认证有严格的程序，远比我们高，大学的宽进严出，决定了高质量的师资队伍.我们完善的职后教师培训体制，使我们教师专业水平和教学能力的提高成为终生学习的重要组成部分.

4多样化教材的建设

目前美国中学数学教材基本是分科：代数、几何和概率统计.访学期间仔细翻阅了《Algebra 2》，编的很综合，强调知识内容的联系.比如y=kx+b这样一个表达式，我们教材对这个问题的研究，肯定是从二元一次方程开始，然后到平面直角坐标系，再到一次函数，最后是直线的方程，按照这种顺序，从方程到函数，再到方程与直线.一开始，强调它是表示现实问题的数学模型，研究它的解法，然后引进坐标系，通过变量等概念，指出它又是描述变化规律的数学模型——函数，最后从方程的角度研究它，它是一条直线.现在看到的这套教材的处理方式是，先说它的几何表示，由点的坐标到直线，把它与形紧密结合起来，把它直观化，逐步过渡到直线.这种处理方式，突出数形结合，虽然不系统、不完备，但是学生印象很深，容易把数量关系与空间形式有机结合起来.

这个简单的例子促使自己思考，除了教材的系统性、完备性之外，我们是不是可以做一些改革步伐大、极具特色的教材？当前我们的教材版本虽然不少，但是同质化非常严重，彼此之间的差异不大.作为课程教材研究机构，我们需要在这方面进行有益的尝试.

总之，经济、社会发展的巨大差异，特别是人口、资源和环境的天壤之别，以及文化的不同，决定了中美数学教育之间没有太多可比性.但是他们的一些做法，对于我们有借鉴意义，值得我们学习和思考.