李兴宽

云南民族大学 管理学院，昆明 650031

粗糙集理论是一种新的处理不确定性问题的数学工具[1-2]。自1982年由波兰数学家Pawlak首次提出以来，经过二十多年的研究与发展，已经在理论和实际应用上取得了长足的发展，特别是由于20世纪80年代末和90年代初在知识发现等领域的成功应用而受到了国际上广泛关注。目前，它已经在人工智能的诸多领域中得到了成功的应用。

随着粗糙集理论的成功应用，关于其数学基础的研究工作也逐渐受到学术界关注。不同背景下的粗糙近似是粗糙集理论的一个研究热点。Iwinski[3]讨论了粗糙集的格论性质；Pomy与Pomykala[4]证明了某一论域上的粗糙集形成一个双Stone代数；Yao与Lin[5-6]证明了基于自反和传递关系的粗糙集代数是模态逻辑系统S4的恰当的模型；张化光、梁洪力研究了基于 Boole代数[7]的粗糙近似；陈建飞、林公源研究了基于Griss代数的粗糙近似[8]；陈世联研究了基于蕴含格[9]的粗近似；赵涛、秦克云研究了基于分子格等的粗糙近似[10]；同时，还有一些学者研究了半群、群、环背景下的粗糙近似算子[11-13]，这些粗糙近似丰富和发展了粗糙集理论。

目前对以Boole环为基础的粗糙集理的研究却非常少见，本文以Boole环为基础，定义了Boole环上的粗糙上近似和下近似，研究了Boole环上的粗糙近似算子及其性质，进一步丰富和发展了粗糙集理论。

1 Boole环及其上的同余关系

定义1[14]设(S，*，+)是一个环，若∀a∈S，有a*a=a，则称S为Boole环。

性质1[12]若S为Boole环，则 ∀a∈S，有a+a=0，且S是可换环。

定义2[15]设(S，*，+)是一个环，R是S上的一个等价关系，若 ∀a，b，c，d∈S，有aRb，cRd⇒(a+c)R(a+d)，(ac)R(bd)，则称R是S上的一个同余关系。

由此，R是环(S，*，+)上的同余，就是指R既是群(S，+)上的同余，又是半群(S，*)上的同余。

定义3 设 (S，*，+)是一个Boole环，∀x，y∈S，规定S上的二元关系：

易知，≤1，≤2是S的偏序关系。

设(S，*，+)是一个Boole环，R是S上的一个同余关系。则S/R={[x]R|x∈S}是S的一个划分。其中[x]R={y|y∈S，(x，y)∈R}为x所在的等价类。

性质1设(S，*，+)是一个有限Boole环，R是S上的一个同余关系。 ∀X∈S/R，若X={x1，x2，…，xn}，x1*x2*...*xn∈X。

证明∀i，j，1≤i，j≤n，(xi，xj)∈R，由R是S上的一个同余关系及Boole环S的幂等性知：

(xi*xi*...*xi，x1*x2*...*xn)=(xi，x1*x2*...*xn)∈R因此x1*x2*...*xn∈X。

推论1设(S，*，+)是一个有限Boole环，R是S上的一个同余关系，则S关于R的每个同余类中均有最大元（对于≤1来说）。

证明设X∈S/R，其中X={x1,x2,…，xn}，因为∀x,y∈S，x≤1y⇔x*y=y，由性质2知，x1*x2*…*xn∈X。

推论2设(S，*，+)是一个有限Boole环，R是S上的一个同余关系，则S关于R的每个同余类中均有最小元（对于≤2来说）。

定义4设(S，*，+)是一个Boole环，≤是S的偏序关系。∀x，y∈S，若映射C：S→S满足

（1）x≤C(x)；

（2）x≤y⇒C(x)≤C(y)；

（3）C(C(x))=C(x)。

则称C为Boole环S上的闭算子。

设C为Boole环S上的闭算子，x∈S，若C(x)=x，则称x是C闭的。

定义5设(S，*，+)是一个Boole环，≤是S的偏序关系。∀x，y∈S，若映射I：S→S满足

（1）I(x)≤x；

（2）x≤y⇒I(x)≤I(y)；

（3）I(I(x))=I(x)。

则称I为Boole环S上的内部算子。

设I为Boole环S上的内部算子，x∈S，若I(x)=x，则称x是I开的。

性质2设(S，*，+)是一个有限Boole环，R是S上的一个同余关系。∀x∈S，记C(R)(x)=∨[x]R则C(R)是(S，*，+)上的闭算子，其中∨表示取最大元。

性质2显然成立，证明从略。

设C(R)是(S，*，+)上的闭算子，CR表示S中所有C(R)闭元素所成的集合，即∀x∈S，x∈CR⇔C(R)(x)=x。

性质3设(S，*，+)是一个有限Boole环，R是S上的一个同余关系。≤1与≤2是由（1）和（2）定义的两个偏序，记

则：（1）RL是 Boole环 (S，*，+)上的一个同余关系；（2）RU=R。

证明（1）RL是S上的一个等价关系。设x，x′，y，y′∈S，(x，x′)∈RL，(y，y′)∈RL，若对c∈CR，c≤2inf{x，y}，则c≤2x，c≤2y⇒c≤2x′，c≤2y′，所以c≤2inf{x′，y′}。

同理由c≤2inf{x′，y′}⇒c≤2inf{x，y}。因为

inf{x，y}=x*y，inf{x′，y′}=x′*y′

所以 (x*y，x′*y′)∈RL，即RL是S上的一个同余关系。

（2）因为[x]R必有一个元素x，使CR(x)=x，所以|CR|=|S/R|，且∀c∈CR，c对于≤1是S中关于R同余类中的最大元，即 ∀x，y∈S，(x，y)∈R⇔(x，y)∈RU，所以RU=R。

性质4设(S，*，+)是一个有限Boole环，R是S上的一个同余关系。 ∀x∈S，记I(R)(x)=∧[x]R，则I(R)是(S，*，+)上的内部算子，其中∧表示取最小元。

证明以下分三个步骤证明：

（1）因为I(R)(x)是同余类[x]RL中的最小元，所以I(R)(x)≤2x。

（2）设x，y∈S，且x≤2y：

由 (x，I(R)(x))∈RL和 (y，I(R)(y))∈RL可 知 (x*y，I(R)(x)*I(R)(y))=(x，I(R)(x)*I(R)(y))∈RL。由（1）可知I(R)(x)≤2I(R)(x)*I(R)(y)= ∧{I(R)(x)，I(R)(y)}≤2I(R)(y)。

（3）设x∈S，由I(R)(x)≤2x以及（2）的结论可知I(R)(I(R)(x))≤2I(R)(x)。因为 (x，I(R)(x))∈RL，(I(R)(x)，I(R)(I(R)(x)))∈RL，由传递性知，(x，I(R)(I(R)(x)))∈RL，从而I(R)(x)≤2I(R)(I(R)(x))，故I(R)(I(R)(x))=I(R)(x)。

由此，I(R)是(S，*，+)上的内部算子。

用IR表示S中I(R)开元素全体构成的集合，即∀x∈S，x∈IR⇔I(R)(x)=x。当x∈S且满足C(R)(x)=I(R)(x)=x，称元素x是开闭的。

定义6设(S，*，+)是具有最小元的有限Boole环，R是S上的一个同余关系，则称(S，IR，CR)为同余近似空间。

设 (S，IR，CR)为同余近似空间，∀c∈CR，由RL的表达式知，c是同余类[c]RL中的最小元，因此c∈IR，从而CR⊆IR，即∀x∈S，x是开闭⇔x∈CR。

对于有限Boole环(S，*，+)，可以证明S中有最大元，即1S∈S，而且1S=∨[1S]R，因此1S∈CR。

性质5设(S，IR，CR)为同余近似空间，则CR中有最小元。

证明因为S有最小元，所以∨[0S]R∈CR。∀x′∈CR，若x′≠∨[0S]R，则存在x∈S，使得x′=∨[x]R。由 0S≤1x及闭算子的单调性，有∨[0S]R≤1x，即CR存在最小元∨[0S]R。

性质6设(S，IR，CR)为同余近似空间，则CR与IR均为完备格。

证明 由于CR⊆S是有限集，且具有最大元和最小元。因此，∀X∈CR，supX与infX存在，即CR是完备格。又由于CR⊆IR，有 1S∈IR，由RL的定义，有∧[0S]RL=0S，即 0S∈IR，故IR是完备格。

2 同余近似空间的近似算子及性质

定义7 设(S，IR，CR)为同余近似空间，∀x∈S，则

分别称为x关于同余近似空间(S，IR，CR)的下近似集和上近似集，分别称为下近似算子和上近似算子。

性质7 设(S，IR，CR)为同余近似空间，∀x∈S，有：

证明因为I(R)(x)=∧[x]RL∈IR，由算子I(R)的递减性知I(R)(x)≤x，于是I(R)(x)≤max{y|y∈IR，y≤x}。

另一方面，∀y∈IR，若y≤x，则y=I(R)(y)≤I(R)(x)，从而 max{y|y∈IR，y≤x}≤I(R)(x)，即（1）成立。

同理可证明（2）成立。

性质8 设 (S，IR，CR)为同余近似空间，∀x，y∈S，近似算子和具有性质：

证明（1）(0S)=0S显然，由于1S∈CR⊆IR，所以1S=∨[1S]R=(1S)，(1S)=max{y|y∈IR，y≤1S}=1S。

由内部算子和闭包算子的性质，可知（2）、（3）、（4）成立。

下面证明（5）。

3 结语

本文从定义Boole环上的偏序关系入手，研究了Boole环上闭算子和内部算子的的性质，由此引入了同余近似空间和同余近似空间中上近似和下近似算子的定义，研究了上近似算子和下近似算子的性质。

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