邵海琴, 郭莉琴

(天水师范学院 数学与统计学院, 甘肃 天水 741001)



可消偏序半群的可消偏序扩张与商序同态

邵海琴, 郭莉琴

(天水师范学院 数学与统计学院, 甘肃 天水 741001)

引入偏序半群的商半拟序的概念,利用商半拟序给出了可消偏序半群上的偏序可扩张为可消偏序的充分条件.通过偏序半群的半拟序σ、模σ的闭半拟链,商半拟序和偏序扩张以及可消偏序半群的可消偏序扩张,对偏序半群的商序同态进行了刻画,得到了若干重要的结论.

可消偏序半群; 半拟序; 商半拟序; 闭半拟链; 偏序扩张; 可消偏序扩张; 商序同态

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):512-516,536

1　引言和预备知识

设(S,·,≤)是偏序半群[1].对∀a,b,c∈S，若S满足

ac≤bc⟹a≤b,ca≤cb⟹a≤b,

则称(S,·,≤)是可消的.S上的一个二元关系σ，若满足:(1)≤⊆σ;(2)若(a,b)∈σ,则对任意的c∈S,(ac,bc)∈σ,(ca,cb)∈σ,称σ为S上的半拟序[2]. 若S中的元素列(x,a1,b1,…,an,y)满足

x≤a1σb1≤…≤an-1σbn-1≤anσy,

则称其为S上模σ的半拟链[2], 若x=y, 则称该半拟链为闭的, 其中,n为该半拟链的长度,x,y分别为该半拟链的首项与尾项. 对于模σ的闭半拟链(x,a1,b1,…,an,x),若x=ai=bj(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n-1), 则称此闭半拟链的长度为零.

设(S,·,≤S),(T,*,≤T)是偏序半群,φ:S→T是偏序同态[1].若对∀a,b∈S，∃x,y∈S，φ满足

φ(a)≤Tφ(b)⟹x≤Sy,φ(a)=φ(x),φ(b)=φ(y),

则称φ为S到T的商序同态[3].

设(S,·,≤)是偏序半群. 若≤*为S上的另一个偏序关系,且对∀a,b∈S,a≤b⟹a≤*b, 则称≤*为≤的偏序扩张[4]. 若S是可消偏序半群,≤*为≤的偏序扩张, 且≤*为S上的可消偏序,则称≤*为≤的可消偏序扩张[4].

偏序代数系统的偏序扩张一直受学者关注,文献[2,4-8]等对其进行了深入细致的研究.设(S,·,≤)是可换偏序幺半群,P1是S的正锥[4],若令P={x∈S|(∃a,b∈S)b≤a,xb=a}, 则P是S的偏序幺子半群,且P1⊆P. 文献[4]通过S包含P的子幺半群,讨论了可换偏序半群的偏序扩张与有限全序扩张问题……