周灿云

摘  要：数学理解是高中数学教学中的重要概念，对其理解有经验与学术两个层面. 先基于学术理解，再结合教师自身的经验，是一种良好的理解途径.在数学教学中，基于数学理解去分析学生的学习过程并对自身的教学提出改进建议，是一种更好的有效教学途径. 数学理解有两点需要重视：一是数学理解可以促进学生从旧知中提取知识来理解新知，这是心理层面的理解要点;二是数学理解往往会伴随着学生的“个性”化语言，在数学学习中有无个性化的语言，是判断数学理解是否发生的重要因素.

关键词：高中数学;数学理解;理解;反思

在教学中进行深度的研究一般都会经过解构、理解、重建、反思的过程，因为只有对习以为常的教学习惯进行解构，才能有一个重建空间的可能. 不可否认的是，在当前高中数学教学中，应试的需要几乎压过了所有的需要，教师如此，学生亦是如此.在这样的氛围中，学生在数学学习中所需要的数学理解既被重视，又不被重视. 说其重视，是停留在理论上的，亦即都知道当前高中数学教学评价只凭着海量的试题训练是难以达到高度理解的境界的，说其不重视，是因为我们注意到在实际教学中，用得最多的方式仍然是试题的大量呈现，教师的努力重心落在拓展试题的深度与广度上，至于所需要的数学理解，往往是期待学生的一种自然生成而不是教师有意识的教学设计与实施.

基于这样的现实，笔者以为要打开高中数学教学中数学理解的突破口，还应当从新授课开始，让学生在数学知识构建的过程中就开始数学理解. 也就是说，数学理解的应用一般是在试题的解答之中，但数学理解的生成过程却应当是在数学知识的构建之时.

对高中数学教学中数学理解的理解

毋庸置疑，数学理解是数学自身的一种固有品质，翻开数学史可以发现几乎每一个数学发现都是充满着数学理解的智慧的. 在日常数学教学研讨中，会发现数学理解也是一个比较热门的词语，可以说只要是数学教学研讨活动，几乎言必称理解. 但只要仔细分析便可以发现，日常教学中对数学理解的理解是极为经验化的，每个数学教师几乎都是基于自身的教学经验去对数学理解做出自己的理解与判断，这很可贵，因为能够将一个相对较新的数学概念与自身的教学经验结合起来，这本身就是一种教学研究的好习惯. 但也不可忽视的是，这种经验性的理解方式常常会让教师对一个新概念的理解变得狭隘. 譬如数学理解，不少人就认为是在数学学习的过程中，促进学生去理解数学概念与规律——言下之意是不能只是生硬记忆.

而事实上数学理解有着自身的内涵与外延，作为指导日常教学的一个基本的、重要的概念，如果能够在结合经验进行理解之前，先熟悉其学术定义与理解，可能更好. 笔者查阅了相关的资料并进行了总结，发现当前对数学理解的理解一般分为三个层次：一是学习心理层面的理解，即认为数学理解就是学生在数学学习的过程中，将新的规则与技能与自身原有的数学认知结构发生联系，能够让新的知识建立在原有知识结构上，这便形成了数学理解;二是数学层面的理解，即数学理解应当是学生在经过数学学习之后，能够以数学的眼光去看待、研究身边的事物（即不是根据生活经验去判断，也不是人云亦云），这便是数学理解;三是教学层面的理解，即教师要为学生的数学理解而教，而学生要为自身的数学理解而学，也就是说无论是教者还是学者，都要意识到自己的教学对象不是抽象的数学知识，而是学生对数学知识的理解，对数学知识的建构.

高中数学尤其是我国的高中数学以容量大、难度高、抽象性强著称，因此对于当前高中学生的数学学习而言，以上三种理解其实只是侧重点不同，实际教学中关键在于将三种理解融合起来.比如说在笔者看来，这三个层次的理解其实都是指向学生的，数学理解必须符合学生的学习规律，教师和学生都为理解而教与学，而最终的目的应当是让学生拥有一个数学眼光——这本身就是数学素养的一个核心组成部分.

对数学理解有了这样的理解，那在实际的数学教学中就有了一个关注自身教学的“利器”，可以用其来解剖、分析自身的教学，从而让自己的教学变得更能让学生理解.

高中数学教学中数学理解实例分析

笔者以为，像笔者这样的普通教师在课堂上一定遇到过困惑，更多的时候还是遇到困惑却寻找不到有益的解决途径. 而需要注意的是，教师自身的专业成长往往就发生在困惑得到解决的时候. 笔者曾经对一个教学实例的印象颇深，这个实例就是“函数单调性”的教学.

本来这是一个相对简单的知识点，教学中有时都不会予以太多的关注，但那节课偏偏就让人印象深刻. 首先，函数单调性的定义是简单的，自然不必多说，但当教师呈现了一道例题之后，学生的反应就有些正常当中透露着不正常.这道习题是这样的：已知函数f（x）的定义域为[-3，3]，当x1=-3，x2=3时，有f（x1）<f（x2）成立，则f（x）在该区间上是否为增函数？

至少有一半的学生的第一反应多是“增函数”，因为在他们看来一个区间的两个端点对应的f（x）值已经有了大小关系，但自然就是增函数了. 但这也只是第一反应，当教师迟疑了一会儿之后，这些学生就开始了反思（这是一种非常常见但不太好的现象，因为学生的反应此时总是建立在教师的反应基础之上的，恰恰说明了他们的学习有一种依赖心理），结果有学生提出：不一定是增函数，因为不知道具体的f（x）图象是什么样子. 学生的思维一旦锁定在图象上，那本题就近乎无解了，因为f（x）的解析式根本就没有提供. 于是笔者提醒学生：从函数单调性的定义上去寻找突破点，也只有少数学生注意到定义当中的“任意”两字，但仍然寻找不到具体的解决方法. 直到最后有一两个数学基础较好的学生提出寻找反例的方法，比如y=2x2之类的图象等，当这些图象被画出来之后，学生才算是接受了当初的答案.

之所以对这个例子印象深刻，是因为在两次的教学中学生的反应都是类似的，且当时并没有寻找到行之有效的解决方法，还因为在一次教学观摩中也看到上课教师遇到了与笔者类似的情况，而对该课的判断同样也是分成截然不同的两种观点.

基于经验并进而对学生的反应做出的教学改进措施可能就是重复，我们应基于数学理解并去提出教学的改进措施，这就提醒笔者去分析学生在学习了函数单调性定义并看到了例题之后，学生在想什么. 因此在后一次的教学中，笔者就有意识地询问学生是怎么想的，结果学生的回答出乎意料，有学生说：单调增就意味着当x1>x2时，f（x1）>f（x2），那么对于一个没有给出明确的解析式的函数来说，判断就无法下手了;也有学生说：单调增是需要严格证明的，没有推理只凭寻找例子怎么有说服力呢……根据学生的这些反应，笔者判断他们在遇到这类问题时，思维里只有抽象的函数解析式，只有基于逻辑的推理，这本来是好的，但过于强调或囿于此中，数学学习就机械了，就谈不上数学理解了. 于是笔者的努力方向就是：开拓学生的数学视野，让他们认识到判断函数的单调性，严密推理是一种方法，而提出例证也是一种方法.更重要的是，提出例证的过程其实就是将学生记忆中已有的数学知识提取出来，用于辅助新知识学习的过程，这正是学习心理角度的数学理解！

有了这一基于数学理解的思路，教学的思路也就清晰了：让学生从已有知识中提取典型的函数图象，并将之与题目所给出的条件相对应，结果就会自然呈现. 有意思的是，在这一思路的作用下，学生的思维非常活跃，能够提取出来的例子很多不说，学生还能从自己理解的角度出发，用自己的语言去丰富对函数单调性的理解，学生当众表达时颇有一种不说服其他同学不罢休的气势.

■对高中数学教学中数学理解的反思

其实类似于上述例子的教学实例在笔者的实践当中还真不算少，在其中的一个重要的感受就是学习过程变得自然很多，这就促使笔者去反思为什么基于数学理解的教学能够达到这样的效果. 反思的结果表明：

其一，数学理解能够为学生建构数学知识打好基础. 通常我们都以为学生数学学习是以已经学过的数学知识为基础的，这从逻辑上讲不错，但却不一定符合学生的学习规律. 学生进入高中以后，积累的数学知识非常多，形成的数学学习方法也比较丰富，这些知识与方法能不能及时提取出来，才是真正影响学生学习结果的关键要素. 而基于数学理解的教学却会让教师和学生关注这一点，即要促进学生在数学学习中的数学理解，必须寻找出能够将新知识与旧知识联系在一起的纽带，这是数学理解的基本特征.

其二，数学理解的学习过程中，一定会存在一个“个性化”的过程，即面对一个新的数学知识，学生总有一个用自己的语言去描述对新知识理解的过程. 这个过程是判断学生数学理解是否存在的重要标志，有了学生自己的语言（哪怕很生硬），也说明学生在努力用旧知解释新知，如果没有或者学生只是机械地重复课本上的说法，那种学习反而是危险的，反而是没有数学理解的.

总的来说，基于数学理解的高中数学教学有助于促进教学效益的进一步提高，是有效教学实现的重要基础.