周连官

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是线段AB上任意一动点，以AP为直角边作等腰直角三角形APQ ， PQ交BC于点E，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y.（1）求y关于x的函数关系式及 DQ的最大值；（2）如图2，连结CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长.

本题是一道几何推理计算题.笔者以为在图中进行推算、就可解决.然而怎样推算？如何构造？为什么构造？这些涉及构造原理与方法的问题，一直以来都是几何教学的重点与难点，为教师所关注、学生所关心.笔者拟通过本题的解法及由来的深度剖析，总结图形构造的规律，望能对几何解题教学有所启发.

考点分析（1）AP与DQ这两条线段如何联系在一起，直接找寻等量关系很困难，构造使天堑变通途，过点D作DM⊥AC，垂足为M.根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的函数解析式；也可间接通过△PBE和△ABC相似用x表示PE，从而得QE，再用△ACD和△QED相似可表示出DQ，得出y关于x的函数解析式.DQ的最大值可由函数性质得出，也可由动手操作知D点为定点，AP最大时DQ最大.

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是线段AB上任意一动点，以AP为直角边作等腰直角三角形APQ ， PQ交BC于点E，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y.（1）求y关于x的函数关系式及 DQ的最大值；（2）如图2，连结CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长.

本题是一道几何推理计算题.笔者以为在图中进行推算、就可解决.然而怎样推算？……