岳红云 刘宏超

摘要：本文通过对洛朗定理与留数定理的比较，发现它们虽然都能进行积分计算，但存在复杂与简单、直接与间接的差异，通过分析得到了如下结论，洛朗定理是留数定理进行积分计算的本质和保证，留数定理是洛朗定理进行积分计算的方便应用.

关键词：洛朗定理，留数定理，积分计算

中图分类号：G642文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

一、前言

1. 洛朗定理：设 在圆环域 内处处解析，那么 ，其中 ， .特别的，令 ，计算 沿 的积分可转化为求被积函数 的洛朗展式中 的系数 .

2. 留数定理：设函数 在区域 内除有限个孤立奇點 外处处解析， 是 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ，其中 ， 为 在 内的洛朗展式中 的系数.

二、问题

洛朗定理是级数理论的重要内容，留数定理是积分理论的的重要内容，两个定理都可以计算复变函数的积分，它们之间有什么关系？初学者往往对此问题感到困惑，这影响了复变函数理论的掌握，以下作者对此问题给出解答，从而让大家对复变函数的重点内容——积分的计算有清晰明了的认识，接下来就通过一个例题来说明这两个定理是如何进行积分计算的.

三、例题

例. 计算积分 ，其中 为正向圆周 .

解：法1. 因为被积函数的奇点有 ， ，故其在 内解析，且 在此圆环域内，所以被积函数在此圆环域内洛朗展式的 的系数 乘以 即为所求的积分值.

，

由此可见 ，故 .

法2. 因为被积函数的奇点有 ， ，将圆环域换成 ，函数仍解析， 在此圆环域内，同理可得……