应用几何法分析平面运动图形一条直线上点的速度

2014-10-21孔艳平段淑敏

物理教师 2014年9期

孔艳平段淑敏

（石家庄铁道大学工程力学系，河北石家庄 050043）

在运动过程中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动.［1］刚体的平面运动可以简化为平面图形在它自身平面的运动.在理论力学的教学中，求平面运动图形上一点的速度是教学的重点，一般给学生讲解3种方法，分别是基点法、速度投影法和速度瞬心法.基点法（速度合成法）和速度瞬心法，不仅可以求出点的速度，还可以求出平面运动图形的角速度，但是基点法要求学生正确绘出速度矢量图，瞬心法则要求学生能准确找出瞬心.投影法比较简单，但是仅能求出点的速度，而平面运动图形的角速度无法求得.该部分内容在理论力学的教学中起到承前启后的作用，速度的求解不仅与该图形上点的加速度密切相关，还与动力学部分的内容紧密联系，而且学生掌握起来比较困难，针对这种情况，本文应用几何法讨论了平面运动图形上一些特殊点的速度，可以作为上述3种方法的补充.

1 平面运动图形一条直线上点的速度分析

如图1所示，图形S做平面运动［2］，已知图形上A、B两点的速度分别为 A和B，A、B两点之间的距离为l，A点的速度方向与AB连线的夹角为θA，B点的速度方向与AB连线的夹角为θB，A的末端为M 点，B的末端为N点，连接MN与AB延长线交于P点，此时，可以用简便的几何方法确定AB连线上任意一点的速度大小和方向.

图1

（1）AB之间任意一点（例如D点）的速度矢量的末端一定在直线MN上，其具体位置为：首先过 A的末端M点作AB的平行线MM′，过D作速度矢量 A的平行线，与MM′交于点G，过G点作AB的垂线，与直线MN的交点就是该点速度矢量末端，如图1中的Q点.

（2）P点速度矢量一定沿MN 的直线，方向如图1所示.其具体位置：过P作速度矢量 A的平行线，与MM′交于点L，过L点作AB的垂线，与MN延长线的交点就是该点速度矢量末端，如图1中的E点.

下面分别用速度瞬心法和基点法证明上述结论.

2 瞬心法证明

（1）AB之间任意一点的速度.

如图2所示，AB方向为x轴，与AB垂直的方向设为y轴，M 点的坐标为（vAcosθA，vAsinθA），N 点的坐标为（vBcosθB＋l，vBsinθB）.

图2

直线MN的方程为接下来求平面运动图形的速度瞬心C＊的位置坐标.过A、B两点分别作速度的垂线，交点即为C＊，A C＊的直线方程为

BC＊的直线方程为

可以求得速度瞬心C＊的坐标为

假设D的坐标为（d，0），已知D点和C＊点的坐标，可以求得DC＊的直线斜率为

由速度瞬心法可知，D⊥DC＊，所以DG的直线斜率为

已知D点的坐标和DG的直线斜率，可以求得DG的直线方程为

由速度投影定理可知D点速度矢量的末端G点的横坐标为xG＝d＋vAcosθA，所以根据DG的直线方程可以求出D点速度末端G点的纵坐标为

MN的直线方程为

MN的直线上横坐标为xQ＝d＋vAcosθA，对应的纵坐标为

比较式（1）和（3）可知，D点速度矢量的末端Q点一定在MN上.

（2）MN与AB连线的交点P点的速度方向.

P点的位置坐标为

PC＊的直线斜率为

MN直线的斜率为

由式（4）和式（5）可知，kPC＊kMN＝-1，所以直线PC＊和MN垂直，因此可知P点的速度方向一定沿MN的延长线.

3 基点法证明

（1）AB之间任意一点的速度.

要确定AB上一点D的速度矢量，假设AB为水平，AD之间的距离为d，先分析B点的速度矢量特点，由基点法可知

根据速度投影定理有vAcosθA＝vBcosθB.

如图3所示，在速度矢量三角形BRN中，相对速度BA的方向沿RN 且垂直于AB（即竖直向下），vBA＝ωl，ω为平面运动图形的角速度.

图3

相同的分析可知，D点的速度 D与A点的速度 A在AB方向也有相同的投影，所以 D的矢端一定在直线GH上，GH垂直AB，D点相对于A 点的速度为vDA＝ωd，其速度的端点为Q′点，令DA＝G′，从G点做AB的垂线与MN 交于点Q，只要证明Q和Q′重合即可.因为GQ／／RN，△MGQ与△MRN相似，则，MG＝d，MR＝l，因此，GQ＝＝ωd，因此相对速度v的端点Q′和Q 重DA合，即D点的速度矢端一定在MN的连线上.

（2）MN与AB连线的交点P点的速度.

设PB的长度为b，P点相对于A点的速度为vPA＝，从L点作RN方向的平行线，与MN的延长线交于点E，同理△MLE与△MRN相似，则，MR＝l，ML＝l＋b，因此，LE＝＝ω（l＋b）＝，因此P点的速度矢端一定在MN的延长线上.