赵攀峰

1 利用函数思想破解解析几何问题

（ ）必做1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a>b>0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为 .

（1）求a，b的值.

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点.

①若k=1，求△OAB面积的最大值；

②若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值.

破解思路 第（2）问的第1小题直接设出直线方程为y=x-m，将△OAB的面积用参数m表示，即建立关于参数m的目标函数，此时可用换元法结合二次函数求最值，也可用基本不等式求最值；第2小题同样是将PA2+PB2表示为关于m的目标函数，因其取值与点P的位置无关，故目标函数中参数m的系数应为0，由此可解得k的值.

精妙解法 （1）由题设可知a=2，e= = ，所以c= ，故b=1. 因此，a=2，b=1.

（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 +y2=1. 设点P（m，0）（-2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）.

①若k=1，则直线l的方程为y=x-m. 联立直线l与椭圆C的方程，即y=x-m， +y2=1.将y消去，化简可得 x2-2mx+m2-1=0. 从而有，x1+x2= ，x1·x2= ，S△OAB= ·m·y -y = ·mx1-x2= ·m· . 因此，（S ）2= （5-m2）×m2≤ · =1. 又-2≤m≤2，即m2∈[0，4]. 所以，当5-m2=m2，即m2= ，m=± 时，S△OAB取得最大值1.

②设直线l的方程为y=k（x-m）. 将直线l与椭圆C的方程联立，即y=k（x-m）， 摇 +y2=1.将y消去，化简可得（1+4k2）x2-8mk2x+4（k2m2-1）=0，解此方程，可得x1+x2= ，x1·x2= . 所以，PA2+PB2=（x1-m）2+y +（x2-m）2+y = （x +x ）-2m（x1+x2）+2m2+2= （ 鄢）. 因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（ 鄢）式取值与m无关，所以有-8k4-6k2+2=0，解得k=± . 所以，k的值为± .

极速突击 备考时要重点掌握“设而不求，整体代换”的技巧，以此简化数学运算，从而达到直接、快速、准确的解题效果. 基本步骤如下：

第一步，设直线y=kx+b与圆锥曲线F（x，y）=0的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

第二步，联立F（x，y）=0，y=kx+b消y得x的方程ax2+bx+c=0（或消x得y的方程ay2+by+c=0）.

第三步，根据韦达定理得x1+x2= - ，x1x2= .

第四步，应用违达定理，解决弦长、中点等问题，

（1）弦长公式AB= · ，或者是AB= ；

（2）中点公式，线段AB的中点坐标是 ， +b.

（ ）必做2 如图1，已知椭圆E： + =1（a>b>0）的离心率是 ，P1，P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位……