吴文尧

1 等差、等比数列的综合，数列求和

（ ）必做1 已知等差数列{an}的首项a1=2，a7=4a3，前n项和为Sn.

（1）求an及Sn.

（2）设bn= ，n∈N 鄢，求bn的最大值.

破解思路 对于第（1）问，等差数列问题通常以首项a1和公差d为基本量，由于已知a1的值，故只需把条件a7=4a3翻译成关于d的方程，从而得到d的值；再利用等差数列的基本公式（通项公式及前n项和公式）求解即可. 对于第（2）问，由于an及Sn均可以表示为关于n的函数，所以bn必可以表示成关于n的函数，然后再设法求出这个函数的最大值.

精妙解法 （1）设公差为d，由题意知a1+6d=4（a1+2d），由a1=2，解得d= -3. 所以an=-3n+5，Sn= （n∈N 鄢）.

（2）由（1）得bn= = - n+ ，

由基本不等式得n+ ≥2 =8，所以bn= - n+ ≤ -12= . 又当n=4时，bn= ，从而bn的最大值为 .

（ ）必做2 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1.

（1）设bn=a -2an，求证：数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.

破解思路 对于第（1）问，注意到试题给出的条件是关于S 和an之间的关系式，所以通常先把它化成关于数列{an}的递推关系式，再化归为关于数列{bn}的递推关系式后，自然就瓜熟蒂落了. 第（2）问是求递推数列的通项公式问题，通常的对策是化归为等差或等比数列问题.

精妙解法 （1）因为S =4an+2 ①，所以S =4a +2 ②，由②式减①式得an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an，即an+2-2an+1=2（an+1-2an）. 由于bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn，由a1+a2=S2=4a1+2及a1=1可得a2=5，b1=a2-2a1=3. 所以数列{bn}是首项为3、公比为2的等比数列.

（2）由（1）可知，bn=3·2n-1， 即an+1-2an=3·2n-1，所以 - = ，故数列 是公差为 、首项为 的等差数列，所以 = （n-1）+ = （3n-1），即an=（3n-1）2n-2.

当n≥2时，Sn=4an-1+2=4（3n-4）2n-3+2=（3n-4）2n-1+2；

当n=1时，S1=a1=1，上式也成立.

所以 坌n∈N 鄢，Sn=（3n-4）2n-1+2.

极速突击 本题本质上就是一个递推数列的通项公式问题，事实上，第（1）问是给出一个解决问题的“台阶”，所以在解决有两个或两个以上小题的解答题时，特别要注意前后小题之间的联系，顺着命题者给出的“台阶”走，一般能到达“理想的彼岸”！……