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高考数学必做客观题——计数原理

2014-09-18陶友根

数学教学通讯·初中版 2014年7期
关键词:展开式二项式通项

陶友根

1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

( )必做1 一个小朋友有5支不同颜色的水彩笔,老师要求用这5支笔给图中的四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,那么小朋友有______种不同的涂色方案.

图1

精妙解法 先分为两类:

第一类,当D与A不同色,则可分为四步完成.第一步,涂A有5种方法;第二步,涂D有4种方法;第三步,涂C有3种方法;第四步,涂B有3种方法. 由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种方法.

第二类,当D与A同色,分三步完成,第一步,涂A和D有5种方法;第二步,涂B有4种方法;第三步,涂C有4种方法. 由分步乘法计数原理,共有5×4×4=80(种).

所以共有180+80=260种不同的方案.

极速突击 首先确定“完成一件事”的“事”是什么,再判断是“分类”还是“分步”,从而确定用“加法”还是“乘法”进行计数. 染色问题是考查计数方法的一种常见问题,由于这类问题常常涉及分类与分步,所以在高考题中经常出现,处理这类问题的关键是要找准分类标准,像本题中A,D颜色是否相同对其他区域的涂色有影响.

误点警示 本题容易出现如下错解. 分四步完成:第一步,涂A有5种,第二步,涂B有4种,第三步,涂C有4种,第四步,涂D有3种,所以共有5×4×4×3=240种.错误的原因在于没有考虑到A,D是否同色对B,C区域的影响.

金刊提醒

重视两个原理的灵活运用,并注意以下几点:

(1)认真审题,分析题目的条件、结论,特别是要理解题目中所讲的“事情”是什么,完成这件事情的含义和标准是什么.

(2)明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”,还是既要“分类”又要“分步”,并搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么. 分类要做到不重不漏.

2 排列问题

( )必做1 由4,5,6,7,8,9组成没有重复数字且4,8都不与6相邻的六位奇数的个数是__________.

精妙解法 插空法,先排5,7,9,共有A 种方法,

①若4,6,8都不相邻,则有A 种方法;

②若4,8相邻,则有A A 种方法.

所以共有A (A +A A )=108种.

极速突击 元素不相邻问题用“插空法”,元素相邻问题用“捆绑法”.

误点警示 本题容易将“4,8都不与6相邻”理解为“4,6,8都不相邻”,从而错解为A ·A =36种.

( )必做2 某学校安排7位行政领导值班(每轮7天),每天安排1人,每人值班1天,若7位领导中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在第一天,丁不排在最后一天,则不同的安排方案共有( )

A. 504种 B. 960种

C. 1008种 D. 1108种

精妙解法 若丙排在第一天,共有A ·A =240种;若丁排最后一天,共有A ·A =240种;若丙排第一天且丁排最后一天共有A ·A =48种;若不考虑丙、丁的条件限制,共有A ·A =1440种. 所以共有1440-240-240+48=1008种. 故选C.

极速突击 当直接分类情况较多时,我们常常从反面入手,注意特殊元素先考虑,分类务必“不重不漏”.

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排队问题的常用方法:特殊元素优先安排,特殊位置优先解决,相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法,直接法复杂则用间接法.

3 组合问题

( )必做1 在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形没有公共边的三角形有( )

A. 24个 B. 48个

C. 16个 D. 8个

精妙解法 连接正八边形的三个顶点构成三角形的个数为C ,其中有两条公共边的三角形有8个,有一条公共边的三角形有C ×C ,所以共有C -8-C ×C =16个. 故选C.

极速突击 正难则反,合理分类.对于否定性词语“没有”“不”等问题,常常从反面切入.

( )必做2 数学研究学习小组共有13名学生,其中男生8人,女生5人,从这13人里选出3个人准备做报告. 在选出的3个人中,至少要有1名女生,一共有__________种选法.

精妙解法 法1:由题意,按选出女生的人数可分三类情况.

第一类,选1名女生,2名男生,有C ·C 种选法;

第二类,选2名女生,1名男生,有C ·C 种选法;

第三类,选3名女生,男生不选,有C 种选法.

故共有C ·C +C ·C +C =230种选法.

法2:如果没有限制条件,则有C 种选法,而不符合条件,即选出的全是男生(一名女生也没有)的选法是C 种. 因此,至少要有1名女生的不同选法有C -C =230种.

极速突击 对元素有“至少”或“至多”限制的组合应用题,用直接法和间接法都可以,直接法根据条件分类列举,有时会分类过多;间接法用“没有限定条件”的总数减去“不符合条件”的种数,以免造成重复.

误点警示 常出现以下错解:先选1名女生,有C 种方法;再从剩下的12个人中选出2名,有C 种方法,所以共有C C =330种不同的选法.

错因是上述解法中有重复计数.不妨设g1,g2,…,g5表示5名女生,b1,b2,…,b8表示8名男生.

(1)先选1名女生是g1,然后任选的2人是g2,b1;

(2)先选1名女生是g2,然后任选的2人是g1,b1. 显然这是与(1)相同的选法.endprint

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有限制条件的组合应用题:

(1)“含”与“不含”问题,其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.

(2)“至多”与“至少”问题通常采用排除法,也可以用直接法.

(3)在处理几何问题中的组合应用问题时,应先明确几何中的点、线、面及构型,明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系,将几何问题抽象成组合问题来解决.

4 排列与组合综合应用

( )必做1 把座位编号为1,2,3,4,5,6的六张观看《泰囧》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得两张票的必须是连号,那么不同的分法种数是________种.

精妙解法 如图2,第一步,把六张票分成4组;

第二步,把这4组票分给甲、乙、丙、丁4个人,有A 种.

由分步计数原理得,不同的分法有6A =144种.

极速突击 排列组合问题,一定要先判定是否有序,有序则排列,否则是组合问题. 分配类问题,一般遵循“先分堆再分配”原则.

( )必做2 2013成都财富全球论坛组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人从事,则不同的派给方案共有( )

A. 25种 B. 150种

C. 240种 D. 360种

精妙解法 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人从事,分为两类,第一类为有一样3人做,另2样各一人:C A =60;第二类为有两样各2人做,另一样1人做: C C A =90,总共有60+90=150种分派方法,故选B.

极速突击 在分堆问题中,要特别注意“均分”,不要错误地考虑顺序. 选派问题,一般遵循“先选后派”的原则,以免出现重复计算和思维混乱.

误点警示 常出现以下错解:(1)A (C +A )=540种,错因是先分配3人,再分配剩下2人,造成重复计算.

(2)C A +C C A ,错因是第二类中,没有注意到分组2+2+1中隐藏着均分问题.

金刊提醒

解排列组合应用题时,常见的解题策略有以下几种:

(1)特殊元素优先安排的策略;

(2)合理分类和准确分步的策略;

(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;

(4)正难则反、等价转化的策略;

(5)相邻问题捆绑处理的策略;

(6)不相邻问题插空处理的策略;

(7)定序问题除法处理的策略;

(8)分排问题直排处理的策略;

(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;

(10)构造模型的策略.

5 二项式定理

( )必做1 若x- 6展开式的常数项为60,则常数a的值为________,此常数项对应的二项式系数是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r(- )rx-2r=C (- )rx6-3r,令r=2得x- 6的常数项为C a,所以令C a=60,即15a=60,解得a=4. 常数项对应的二项式系数为C =15.

极速突击 用好二项式定理的通项公式,注意区别系数和二项式系数.

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二项式定理的通项公式Tk+1=C an-kbk,它是(a+b)n的展开式的第k+1项,这里k=0,1,…,n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数. 解题时注意方程思想的应用.endprint

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有限制条件的组合应用题:

(1)“含”与“不含”问题,其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.

(2)“至多”与“至少”问题通常采用排除法,也可以用直接法.

(3)在处理几何问题中的组合应用问题时,应先明确几何中的点、线、面及构型,明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系,将几何问题抽象成组合问题来解决.

4 排列与组合综合应用

( )必做1 把座位编号为1,2,3,4,5,6的六张观看《泰囧》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得两张票的必须是连号,那么不同的分法种数是________种.

精妙解法 如图2,第一步,把六张票分成4组;

第二步,把这4组票分给甲、乙、丙、丁4个人,有A 种.

由分步计数原理得,不同的分法有6A =144种.

极速突击 排列组合问题,一定要先判定是否有序,有序则排列,否则是组合问题. 分配类问题,一般遵循“先分堆再分配”原则.

( )必做2 2013成都财富全球论坛组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人从事,则不同的派给方案共有( )

A. 25种 B. 150种

C. 240种 D. 360种

精妙解法 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人从事,分为两类,第一类为有一样3人做,另2样各一人:C A =60;第二类为有两样各2人做,另一样1人做: C C A =90,总共有60+90=150种分派方法,故选B.

极速突击 在分堆问题中,要特别注意“均分”,不要错误地考虑顺序. 选派问题,一般遵循“先选后派”的原则,以免出现重复计算和思维混乱.

误点警示 常出现以下错解:(1)A (C +A )=540种,错因是先分配3人,再分配剩下2人,造成重复计算.

(2)C A +C C A ,错因是第二类中,没有注意到分组2+2+1中隐藏着均分问题.

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解排列组合应用题时,常见的解题策略有以下几种:

(1)特殊元素优先安排的策略;

(2)合理分类和准确分步的策略;

(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;

(4)正难则反、等价转化的策略;

(5)相邻问题捆绑处理的策略;

(6)不相邻问题插空处理的策略;

(7)定序问题除法处理的策略;

(8)分排问题直排处理的策略;

(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;

(10)构造模型的策略.

5 二项式定理

( )必做1 若x- 6展开式的常数项为60,则常数a的值为________,此常数项对应的二项式系数是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r(- )rx-2r=C (- )rx6-3r,令r=2得x- 6的常数项为C a,所以令C a=60,即15a=60,解得a=4. 常数项对应的二项式系数为C =15.

极速突击 用好二项式定理的通项公式,注意区别系数和二项式系数.

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二项式定理的通项公式Tk+1=C an-kbk,它是(a+b)n的展开式的第k+1项,这里k=0,1,…,n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数. 解题时注意方程思想的应用.endprint

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有限制条件的组合应用题:

(1)“含”与“不含”问题,其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.

(2)“至多”与“至少”问题通常采用排除法,也可以用直接法.

(3)在处理几何问题中的组合应用问题时,应先明确几何中的点、线、面及构型,明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系,将几何问题抽象成组合问题来解决.

4 排列与组合综合应用

( )必做1 把座位编号为1,2,3,4,5,6的六张观看《泰囧》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得两张票的必须是连号,那么不同的分法种数是________种.

精妙解法 如图2,第一步,把六张票分成4组;

第二步,把这4组票分给甲、乙、丙、丁4个人,有A 种.

由分步计数原理得,不同的分法有6A =144种.

极速突击 排列组合问题,一定要先判定是否有序,有序则排列,否则是组合问题. 分配类问题,一般遵循“先分堆再分配”原则.

( )必做2 2013成都财富全球论坛组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人从事,则不同的派给方案共有( )

A. 25种 B. 150种

C. 240种 D. 360种

精妙解法 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人从事,分为两类,第一类为有一样3人做,另2样各一人:C A =60;第二类为有两样各2人做,另一样1人做: C C A =90,总共有60+90=150种分派方法,故选B.

极速突击 在分堆问题中,要特别注意“均分”,不要错误地考虑顺序. 选派问题,一般遵循“先选后派”的原则,以免出现重复计算和思维混乱.

误点警示 常出现以下错解:(1)A (C +A )=540种,错因是先分配3人,再分配剩下2人,造成重复计算.

(2)C A +C C A ,错因是第二类中,没有注意到分组2+2+1中隐藏着均分问题.

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解排列组合应用题时,常见的解题策略有以下几种:

(1)特殊元素优先安排的策略;

(2)合理分类和准确分步的策略;

(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;

(4)正难则反、等价转化的策略;

(5)相邻问题捆绑处理的策略;

(6)不相邻问题插空处理的策略;

(7)定序问题除法处理的策略;

(8)分排问题直排处理的策略;

(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;

(10)构造模型的策略.

5 二项式定理

( )必做1 若x- 6展开式的常数项为60,则常数a的值为________,此常数项对应的二项式系数是________.

精妙解法 Tr+1=C x6-r(- )rx-2r=C (- )rx6-3r,令r=2得x- 6的常数项为C a,所以令C a=60,即15a=60,解得a=4. 常数项对应的二项式系数为C =15.

极速突击 用好二项式定理的通项公式,注意区别系数和二项式系数.

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二项式定理的通项公式Tk+1=C an-kbk,它是(a+b)n的展开式的第k+1项,这里k=0,1,…,n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数. 解题时注意方程思想的应用.endprint

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