陶友根

1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

（ ）必做1 一个小朋友有5支不同颜色的水彩笔，老师要求用这5支笔给图中的四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，那么小朋友有______种不同的涂色方案.

图1

精妙解法 先分为两类：

第一类，当D与A不同色，则可分为四步完成.第一步，涂A有5种方法；第二步，涂D有4种方法；第三步，涂C有3种方法；第四步，涂B有3种方法. 由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种方法.

第二类，当D与A同色，分三步完成，第一步，涂A和D有5种方法；第二步，涂B有4种方法；第三步，涂C有4种方法. 由分步乘法计数原理，共有5×4×4=80（种）.

所以共有180+80=260种不同的方案.

极速突击 首先确定“完成一件事”的“事”是什么，再判断是“分类”还是“分步”，从而确定用“加法”还是“乘法”进行计数. 染色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，像本题中A，D颜色是否相同对其他区域的涂色有影响.

误点警示 本题容易出现如下错解. 分四步完成：第一步，涂A有5种，第二步，涂B有4种，第三步，涂C有4种，第四步，涂D有3种，所以共有5×4×4×3=240种.错误的原因在于没有考虑到A，D是否同色对B，C区域的影响.

金刊提醒

重视两个原理的灵活运用，并注意以下几点：

（1）认真审题，分析题目的条件、结论，特别是要理解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情的含义和标准是什么.

（2）明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”，还……