张雪峰

1 三角函数的概念

（ ）必做1 如图1，以Ox为始边作角α与β（0<β<α<π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为- ， .

图1

（1）求 的值；

（2）若 · =0，求sin（α+β）.

破解思路 （1）先根据三角函数的定义求出sinα，cosα，代入求三角函数式子的值.

（2）根据 · =0可得 ⊥ ，再结合β的取值范围求出sinβ，cosβ的值，则sin（α+β）可求.

精妙解法 （1）由三角函数的定义得cosα=- ，sinα= ，

所以原式= = =2cos2α=2×- = .

（2）因为 · =0，所以 ⊥ ，所以α-β= ，所以β=α- .

所以sinβ=sinα- =-cosα= ，cosβ=cosα- =sinα= .

从而可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= × +- × = .

极速突击 （1）三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，便可求该角的正弦值、余弦值、正切值.

（2）同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件.

2 三角函数的图象与性质

（ ）必做1 已知函数f（x）=sinωxcosωx+ cos2ωx- （ω>0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）图象的任意两条对称轴，且x1-x2的最小值为 .

（1）求f（x）的表达式；

（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0在区间0， 上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.？摇

破解思路 利用二倍角公式与和差公式可以对三角函数的解析式进行化简，利用两相邻对称轴的距离得到周期来求出ω. 在进行三角函数图象变换时按照先平移再伸缩的步骤进行，得到新的函数y=g（x），由其与y=-k在0， 上的交点为一个，得到k的取值范围.

精妙解法 （1）f（x）= sin2ωx+ · - = sin2ωx+ cos2ωx=sin2ωx+ .

由题意知，函数f（x）的最小正周期T=2× = ，T= = = ，所以ω=2. 所以f（x）=sin4x+ .

（2）将f（x）的图象向右平移 个单位后，得到f（x）=sin4x- 的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到f（x）=sin2x- 的图象.

所以g（x）=sin2x- .

令2x- =t，因为0……