●

(商城第二高级中学 河南信阳 465350)

2014年福建省数学高考理科第19题是一道平面解析几何中常见的直线与双曲线位置关系的综合题.该题突出了解析几何的学科思想，如数形结合、运动变化、用代数方法研究几何等.同时对考生的分析、推理、转化的数学逻辑思维能力提出了更高要求.如何在解析几何中避免繁杂、冗长的计算，即简化运算，特别是洞察题目所给信息的内在联系，是解决问题的关键.

(1)求双曲线E的离心率.

(2)如图1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于点A,B(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有1个公共点的双曲线E？若存在，求出双

曲线E的方程；若不存在，请说明理由.

图1

第(1)小题的解答：

该题的重点在第(2)小题.

1 题意的初步理解

(1)“动直线l分别交直线l1，l2于点A,B(A，B分别在第一、四象限)”，这就形成一个△OAB，此时动直线l与双曲线E的右支相离、相交、相切均有可能，且这样的动直线有无穷多条.

(2)由“△OAB的面积恒为8”知面积为定值，此时动直线l与双曲线E的位置关系如何呢？

(3)“是否存在总与直线l有且只有1个公共点的双曲线E”，由于动直线不可能与渐近线平行，因此l与双曲线E相切，据此可大胆猜想：满足条件的直线与双曲线相切且△OAB的面积恒为定值(本题的答案为8).此时，切点P相对于点A,B的位置关系是怎样的呢？

在题目未完全求解之前，存在诸多不确定因素有待解决.解题不仅仅是一个确认数学结论的过程，而且也是一个理解和发现数学结论的……