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(苍溪中学校 四川苍溪 628400)

2014年高考已经落下帷幕，全国数学高考大纲卷理科总体上保持了近几年来的命题风格和试题特色.笔者特别关注了第21题，该题较全面地考查了学生掌握解析几何基础知识与基本方法的程度，将直线、圆、抛物线等知识点融汇在一起，给人以“亲而不近”之感，好似面熟但并不容易解答，入手容易，但是要想完整解答，需要考生具备扎实的基础知识和较强的分析解决问题的能力，梯度性较强，具有较好的选拔功能.“在知识网络的交汇点命题”的命题思路得到进一步彰显.笔者对此题作了进一步的推广，若有不足之处，望各位同行批评指正.

1 真题再现

(1)求C的方程；

(2)过点F的直线l与C相交于点A，B，若AB的垂直平分线l′与C相交于点M，N，且点A，B，M，N共圆,求l的方程.

由题意知

解得p=2，故曲线C的方程为y2=4x.

(2)当直线l与x轴垂直时，显然不满足题意.当直线l不与x轴垂直时，设直线AB的方程为l:

x=ky+1(其中k≠0).

y2-4ky-4=0,

则

y1+y2=4k,y1y2=-4,

4(1+k2),

x1+x2=ky1+ky2+2=4k2+2.

由抛物线的第二定义知

故|AB|=x1+x2+p=4(1+k2)，线段AB的中点为D(2k2+1,2k).因为直线l′垂直平分线线段AB，所以

设直线l′的方程为

从而

于是

由线段MN垂直平分线段AB，且点A，B，M，N共圆知，线段MN为该圆的直径，点E为该圆圆心，即

|DE|2+|AD|2=|AE|2.

即

整理得k2=1，即k=±1.故直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.

点评证明多点共圆的常用方法是：证明圆心到各点的距离相等.本题的难点在于如何利用已知条件找圆心、如何求得圆心到各点的距离.本题立意鲜明，富含思考与探究价值,也再次表明韦达定理的无敌.

不难发现，当过焦点F的直线l斜率为1时，点A，B，M，N共圆，对于一般的抛物线，是否还有类似的结论呢？……