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(铁一中学 广东广州 510600)

1 原题回顾

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的2条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

这是2014年广东省数学高考理科倒数第2题.本题题意清晰，简洁明了，学生不需要花太多时间读题、理解题意，且解题思路常规、明了，符合考试大纲的要求.看似平常无奇的问题，却有着深刻的背景、多样的解法，完全可以考查出学生的知识面、计算能力等各方面的数学素养.

2 问题背景

3 解法研究

解法1(判别式法)令2个切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，当切线斜率存在时，设过点P的切线方程为l:y-y0=k(x-x0),联立方程组

整理得

(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0,

从而

Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)[9(y0-kx0)2-36].

由直线l与椭圆C相切知Δ=0,得

4+9k2=(y0-kx0)2,

由过点P的2条切线相互垂直和韦达定理得

解法2(参数法)设切线PA的参数方程为

(1)

(2)

解法3(方程思想)设切点A(x1,y1)，切点B(x2,y2)，则过点A,B的切线方程分别为

(3)

(4)

(5)

(6)

利用韦达定理代入得x2+y2=13,经验证特殊情形亦满足.

图1

解法4(几何法)如图1所示，E,F为椭圆的2个焦点，PA,PB是2条相互垂直的切线，作点F关于直线PA，PB的对称点G,H，联结GF,HF，交PA，PB于点C,D.由平面几何知识易证：点G,A,E共线，点F,D,H共线，点G,P,H共线，且P为GH的中点.利用对称的知识容易得到下列关系：

AG=AF,PG=PF,BF=BH.

又在椭圆中,

AF+AE=2a=6，

即

GE=AG+AE=2a=6，

同理可得

HE=6，

故在△GEH中，P为GH的中点，从而

PE2+PG2=GE2=36,

将PG=PF代入上式得

PE2+PF2=36.

在△PEF中，O为EF中点，由帕普斯定理得

PE2+PF2=2OF2+2OP2=36,

4 问题的推广

2条直线垂直是2条直线位置关系中极为特殊的情形，当2条切线始终成某个固定的角度θ时，点P的轨迹又是怎样的呢？笔者经过探究，有以下结果：

证明当θ≠90°时，设过点P的切线方程为

y-y0=k(x-x0)，

即

y=kx+y0-kx0.

(a2k2+b2)x2+2ka2(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0,

从而

Δ=4k2a4(y0-kx0)2-4(a2k2+b2)[a2(y0-kx0)2-a2b2]=0,

将x0，y0用x，y替换得 sin2θ(a2+b2-x2-y2)2+4cos2θ(a2b2-b2x2-a2y2)=0.

当θ=90°时，亦满足上式，故命题得证.

限于……