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(安丰中学 江苏东台 224221)

2014年江西省数学高考理科第21题如下：

题目随机将1,2,…,2n(其中n∈N*,n≥2)这2n个正整数分成A组和B组，每组n个数，A组最大数为a1，最小数为a2；B组最大数为b1，最小数为b2，记ξ=a1-a2，η=b1-b2.

(1)当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；

(2)令C表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C发生的概率P(C)；

这道题既考查概率的基本知识、基本方法，同时又着重考查学生的理解能力、分析能力、数学思维能力，是一道有区分度、有选拔功能的压轴题.笔者在求解这道题、探究它的本质时，经历了一系列的思维过程，现整理成文，与同行们交流，以期抛砖引玉.

1 特殊化思考

第(1)小题比较简单，本文不作研究.在第(2)小题中，事件C发生的概率P(C)是关于n的数列，为体现概率的数列特征，把事件C发生的概率P(C)依次记为P2,P3,…,Pn(其中n≥2)，容易求得

也即第(2)小题的结论.

2 论证思考

3 单调性思考

至此，已完成了这道压轴题的解答，但在上述的特殊化过程中，我们还得出了Pn单调递减，能否证明呢？笔者运用了分析法以简化运算.

要证：Pn单调递减，即证：当n≥2时，Pn≥Pn+1，亦即证：

接下来再用数学归纳法证明此结论.

证明当n=2时，结论显然成立.假设当n=k时，结论成立，即

则当n=k+1时，

4 下界思考

5 数学期望思考

以上研究了ξ与η相等时概率Pn的单调性以及有界性，继而笔者又想到研究ξ的数学期望.类似地，把ξ的数学期望依次记为E2(ξ),E3(ξ),…,En(ξ)(其中n≥2)，首先得到：

怎样证明该结论呢？首先由

单墫语:不断地、持续地“思之、思之、思之、思之”，定有意想不到的收获.当我们面对一个陌生的数学问题时，要敢于思考、勇……