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(淮北市第一中学 安徽淮北 235000)

1 背景分析

2014年6月10日～19日，笔者有幸参加了安徽省网上阅卷工作，所阅的是数学理科卷第18题(即文科卷第20题).从阅卷结果来看，本题安徽省理科平均分约4.5分，文科约2.1分.在阅卷之余，笔者思考：面对这样的答题情况，教师该如何教学？由此，笔者对学生的答题情况进行了分析，并把学生所犯的错误进行了归纳，以期为我们的教学提供借鉴与帮助.

2 试题回顾

例1设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3(其中a>0).

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值.

(2014年安徽省数学高考理科试题第18题)

解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞)，对f(x)求导得

f′(x)=1+a-2x-3x2.

令f′(x)=0，得

方法1可知f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时,f′(x)<0；当x10,从而f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.

方法2对x,f′(x)和f(x)进行讨论(如表1所示)：

表1 对x,f ′(x)和f (x)的分析

由表1可知：f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.

(2)因为a>0，所以x1<0,x2>0.

①当a≥4时，x2≥1.结合第(1)小题知，f(x)在[0,1]上单调递增，从而当x=0时，f(x)取得最小值，当x=1时，f(x)取得最大值.

本题是函数与导数问题的综合题，紧扣考纲要求，主要考查了三次函数的图像与性质、导数运算及其应用、函数单调性及最值的求法，以及函数与方程的思想、转化化归的思想和分类讨论的思想.纵观安徽省近几年的考题，在函数与方程的考查中，多以有理函数、指数、对数函数、三角函数等有关的参数问题为主，考查导数在解决函数单调性、极值、最值等问题中的应用，注重基本思想和基本方法的考查.本题的难度不大，但是从阅卷情况来看，学生得分情况却不容乐观,主要在于求导不正确、计算与化……