● (春晖中学 浙江绍兴 312353)

证明(充分性)设x+y+z=1，则

故A,B,C,D共面.

整理后，得

由系数的唯一性，知

x=1-λ-μ，y=λ,z=μ，

从而

x+y+z=1．

则满足x+y+z=1的动点P的轨迹是平面ABC．

简记上述平面ABC为α1．沿着文献[1]探究的心路，可将其中的各个结论推广到空间如下：

则(1)满足x+y+z=0的动点P的轨迹是过点O与平面α1平行的平面α0；(2)满足x+y+z=-1的动点P的轨迹是α1关于点O对称的平面α-1．

(证明过程此处从略．)

现称定理1中由平面α0指向平面α1的空间区域为正向空间区域Ω+，由平面α0指向平面α-1的空间区域为负向空间区域Ω-，则

且x+y+z=k(k≠0)，则当k>0时，动点P的轨迹是在Ω+内与平面α0平行且与α0的距离为k的平面；当k<0时，动点P的轨迹是在Ω-内与平面α0平行且与α0的距离为|k|的平面(即动点P的轨迹总是一个与平面α0平行且与α0距离为|k|的一个平面，k的正、负性正好对应它所在区域的正、负向).

记定理2中的平面为αk，于是又有该定理的一个推论．

则满足条件a

类似地，还有满足条件a≤x+y+z≤b,x+y+z≤a,x+y+z≥b等时的一些结论．

让我们换个角度，从空间基底的变换入手．

记由点Am,Bn,Cl确定的平面为αm,n,l,1，于是得到

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，则

时光荏苒，距离小飞鱼孵化出来已经快一年了。它们也已经长到了40厘米左右，翼状的胸鳍也快长到30厘米长了。从4月初开始，飞鱼群便会纷纷顺着洋流南下，寻找温暖的海域，而有些种类的飞鱼会“固执”地前往它们的出生地，开始新一轮的繁衍。

(1)满足x+y+z=1的动点P的轨迹是平面αm,n,l,1；

(2)满足x+y+z=0的动点P的轨迹是过点O且与平面αm,n,l,1平行的平面αm,n,l,0；

(3)满足x+y+z=-1的动点P的轨迹是αm,n,l,1关于点O对称的平面αm,n,l,-1．

由引理1知结论(1)正确；由定理1知结论(2)和(3)正确.

我们仍记由平面αm,n,l,0指向平面αm,n,l,1的空间区域为Ω+，由平面αm,n,l,0指向平面αm,n,l,-1的空间区域为Ω-，则由引理2和定理2得到

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，则满足x+y+z=k(k≠0)的动点P的轨迹是在Ω内与平面αm,n,l,0平行且与αm,n,l,0的距离为|k|的一个平面αm,n,l,k.当k>0时,αm,n,l,k在Ω+内;当k<0时,αm,n,l,k在Ω-内.

(x,y,z,m,n,l∈R,mnl≠0)，则满足条……