● (柯桥中学 浙江绍兴 312030)

平面向量是数学中的一个重要概念，具有代数与几何的特征，能做到数、形间的相互转换.鉴于其几何背景明显，内涵深刻，能较好地考查学生思维的灵活性和创新性，因此自进入高中数学教材以来，平面向量受到各级各类考试命题专家的青睐，是竞赛中的热点问题之一,且常考常新.本文试图对平面向量的性质及应用作一个较全面的概括，现分述如下：

1 平面向量的概念及重要结论

(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内2个不共线的向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有1对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2.平面向量坐标表示的理论基础是平面向量基本定理.

(3)平面向量的数量积：如果2个非零向量a，b，它们的夹角为θ(0≤θ≤π)，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作：a·b，即a·b=|a|·|b|cosθ.

重要结论(1)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a上的投影的积.b在a上的投影为|b|cosθ，它是一个实数.

已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的3个点，动点P满足

其中λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹通过△ABC的重心.

已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的3个点，动点P满足

其中λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹通过△ABC的外心.

2 平面向量的应用

2.1 利用基本概念解决向量问题

(2006年全国高中数学联赛浙江省预赛试题)

图1

2 利用基本结论解决向量问题

图2 图3

记线段AB,AC的中点为M,N，因为O为△ABC的外心，则

(2012年全国高中数学联赛一试试题)

解如图3,取线段BC的中点，记作M,则由极化恒等式得

3 利用构造图形解决向量问题

(2004年全国高中数学联赛试题)

图4

因此

S△ABC∶S△AOC=3∶1.

4 利……

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