● (镇海蛟川书院 浙江宁波 315201)

三角形是最基本的几何图形之一，平面几何中的许多问题往往可归结于三角形问题进行解决.三角形知识因其基础性强、起点低、能够灵活地融入到其他知识中去，一直受到命题者的青睐,因此熟练掌握三角形边角关系、全等三角形与特殊三角形的性质和判定及应用，对于解决线角的相等、不等以及和差等数量关系，研究平行、垂直等位置关系很有必要.笔者以其在初中竞赛中的常见类型进行分类，拟对这类问题的常见解法作一些探讨.

1 三角形边角关系的相关问题

三角形的3条边相互制约，3个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系，如三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，大角对大边、大边对大角等，它们在线段与角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用．

1.1 借助于三角形角的关系解题

例1已知锐角△ABC的3个内角A,B,C满足：A>B>C，用α表示A-B，B-C以及90°-A中的最小者，则α的最大值为______.

解因为α=min{A-B,B-C,90°-A},所以

α≤A-B,α≤B-C,α≤90°-A,

从而 6α≤ 2(A-B)+(B-C)+3(90°-A)=

270°-(A+B+C)=90°,

于是

α≤15°.

当且仅当A=75°,B=60°,C=45°时满足题设条件，此时α可取得最大值15°.

评注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识十分丰富.在三角形中，内角和定理、内外角关系定理、等腰三角形2个底角相等，利用这些独特的等量关系可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系.

1.2 借助于三角形三边关系解题

(2012年全国初中数学联赛试题)

解依题意得

由式(1)得

b>c-a，

化简得

a2-3ac+c2<0，

2边同除以c2，得

从而

1.3 借助于边角关系灵活解决综合问题

例3阅读下面的情景对话，然后解答问题：