● (常熟市中学 江苏常熟 215500)

时光飞逝，转眼间一年一度的高校自主招生选拔考试已落下帷幕.纵观2014年“北约、华约、卓越”三大联盟的自主招生考试数学试题，无论是在知识方法，还是在试卷难度与解题技巧上都在向数学高考的模式理性回归.另外，在试题的命制上，三大联盟所推出的数学选拔试题都同高考试题一样，均遵循源于教材而高于教材的命题原则，且大大减少了高考以外的内容，从而使2014年的自主招生试题更贴近考生，更能公正、公平、有效地选拔优秀学生.正因如此，2014年三大联盟的自主招生数学考试很接地气，获得了社会各界和广大师生的一致好评.同时，也为以后高校自主招生选拔考试引领了全新的方向.2014年“北约”自主招生数学考试的压轴题就是一个源于教材而高于教材的不等式证明题.它结构简洁、内涵丰富，对学生的思维能力和代数推理能力提出了较高的要求，很好地起到了“北约”试题的选拔功效.以下笔者将给出该优美试题的7种证法并作推广，供读者在学习和研究时参考.

试题呈现若n个正数x1,x2,…,xn满足x1x2…xn=1，求证：

(2014年“北约”联盟理科试题第10题)

因此当n=2时，命题也成立.

(2)假设n=k时命题成立，即若正数x1,x2,…,xk满足x1x2…xk=1，则

当n=k+1时，由xi>0(i=1,2,…,k+1)且x1x2…xkxk+1=1可知这k+1个正数中至少有1个不小于1，至少有1个不大于1.不妨设0

又因为

即当n=k+1时，命题也成立.

由数学归纳法原理可知原命题成立.

评注本题是一个与自然数有关的命题，并注意到二元时是一个简单的柯西不等式，故采用……