李天匀，李威，朱翔

摘要：主振型是结构动力学课程中的重要概念之一，一般在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入。教科书中假设的振动位移幅值为正，但推导出的主振型中存在幅值比为负的问题。针对这一矛盾，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，使教学内容更加严谨，且有利于培养学生的科学思维。

关键词：自由度；无阻尼振动；圆频率；振型；特征值；特征向量

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）29-0090-02

结构动力学是力学、机械、土木、航空航天、船舶等专业的一门重要专业课程，其中主振型是重要的概念之一，常常是在讲授二自由度无阻尼系统自由振动特性时引入，但学生在学习中常常遇到困惑。为此，作者从矩阵特征值与特征向量的关系入手，提出了解决这一矛盾的思路，有利于教学内容的顺利进行，也说明力学类课程对数学知识有很大的依赖性，应加强数学知识的学习，以深入理解丰富的力学内涵。

一、振型概念的一般分析过程

为简化推导，以二自由度振动系统为例。其他多自由度无阻尼系统的自由振动机理类似于二自由度系统。在图1所示的二自由度系统中，考虑无阻尼自由振动，则刚体动力学方程为：m1 00 m2■1■2k1+k2 -k2-k2 k2x1x2=00（1）

为下文推导方便，引入变量：a=■，b=■，c=■（2），从上式可知，三个变量都为实数。将式（2）代入式（1）中，有：■1+ax1-bx2=0■2-cx1+cx2=0（3），一般将常微分方程（2）的齐次解设为简谐形式[1-3]：x1=A1sin（ωt+θ）x2=A2sin（ωt+θ）（4）.将式（4）代入到式（3）中，由于sin（ωt+θ）不恒为零，则有方程：a-ω2 -b-c c-ω2A1A2=00（5）.这是关于A1，A2的齐次线性方程组。……