金伟兵

摘 要：在高三二轮复习中如何进行“含参不等式的恒成立问题”的教学，是值得大家研究关注的一个话题. 本文从四个方面探讨了解决这一问题的方法：1. 明确目标，把握重难点；2. 回归课本，熟悉常见题；3. 化隐为显，寻找恒成立；4. 学以致用，剖析典型题.

关键词：高三二轮复习；含参不等式恒成立；解决方法

含参不等式的恒成立问题在历年的高考中屡见不鲜，是高考的热点，同时也是复习提高的一个难点. 在高三二轮复习中如何进行此块内容的教学，值得大家研究关注. 下面是笔者在高三二轮复习时对这个专题的教学设计，取得比较好的效果，现将这节课的教学反思记录如下，并和大家一起共同探讨.

■明确目标，把握重难点

高三复习课应更注重学生思维品质的培养，展开课堂教学前教师首先得有自己明确的教学目标. 而掌握确定含参不等式恒成立问题的主要求解思路是本节复习课的主要目标. 根据不同条件选择恰当的方法解决恒成立参数范围问题是其中的重点和难点. 在此过程当中让学生熟悉转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论等常用思想方法，真正提高学生的思维品质.

■回归课本，熟悉常见题

教材是学习数学基础知识、形成数学基本技能的关键. 在平时数学教学中教师应重视回归课本，讲好、用好、学好课本，充分发挥教材的优势，才能使学生各方面的能力得到提高. 为此笔者选择以下例题和改编题作为课堂的引入.

课本改编题：若函数f（x）=■x3-x2+ax+3在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是什么？

变式1：若不等式x2-ax+2≥0，对x∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是什么？

变式2：若g（x）=x2-ax+2≥0，对x∈[-3，3]恒成立，则实数a的取值范围是什么？

评析：原题求导后是f ′（x）=x2-2x+a是二次函数，而且对称轴、开口方向、自变量范围均是定值，所以利用其最小值f ′（2）≥0解决问题比较快捷. 而变式1因对称轴是变量，故利用原函数最值需讨论参数，比较烦琐. 而用分离参数的方法（a≤x+■对于x∈[2，3]恒成立）则可以很快得到结果.变式2可以引导学生发现分离参数也有局限，因为x∈[-3，3]，分离的时候需要关注到x=0这个特殊点，且分离时不等式的符号是不确定的，需要讨论，所以此时采用数形结合的方法会更佳，即原不等式可化为：x2+2≥ax. 在同一坐标系中分别作出y=x2+2和y=ax的图象就能解决问题. 以上3道题可以引导学生提炼解决含参不等式恒成立问题的三个主要思路：

1. 转化为求原函数的最值. 2. 变量分离法. 3. 数形结合法.

■化隐为显，寻找恒成立

在对整个解题方法有了基本的回顾和把握之后，可以用下面一组题来加深学生对恒成立问题的判断，也就是哪些是恒成立问题？怎么转化到恒成立？

1. 若函数f（x）=xekx在区间（-1，1）内单调递增，求实数k的取值范围.

2. 已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，若函数f（x）在0，■上无零点，则求实数a的最小值.

3. 已知命题“？埚x∈（1，2）时，不等式x2-2x-logax+1≥0”为假命题，求实数a的取值范围.

评析：这三个问题都是隐藏的恒成立问题，尤其是第3小题其命题的否定即是恒成立问题，让学生体会到不等式有解其实能转化到恒成立，实质是同一类问题. 课堂启用这三小题能对刚刚形成的解题思路加以巩固，并能发现很多数学问题其实是换汤不换药的. 只要有敏锐的思维，发现本质，问题就会迎刃而解. 当然具体在课堂教学中这3小题不用详细展开，仅作大致方向判断即可，这样的处理有详有略，课堂节奏也相对合理，同时也避免了把时间浪费在解重复的题型上. 这块题组解决后及时总结让学生提炼不等式恒成立解题思维模型：

隐性问题？圯显性问题？圯研究最值？圯求原函数的最值或分离参数或数形结合？圯结论？摇？摇？摇

■学以致用，剖析典型题

在例题的选取上，笔者认为不在于多，更在于精，所以选择了三道题分别解决三个含参的变化方向的问题：（1）参数的位置变化，（2）参数的地位变化，（3）参数的数量变化.

1. 参数的位置变化

例1 已知二次函数f（x）=ax2+x，若x∈[0，1]时，恒有f（x）≤1，求a的取值范围.

评析：此题参数在二次项系数，让学生感悟若参数放在一次项会有什么变化，学生会发现前者二次函数开口、对称轴均未定，所以它的“稳定性”更低，更不好处理，通过综合比较三种基本解法，优选最合适的处理办法. 在实际教学中，学生往往从原函数的最值出发，那对含参讨论的要比较高. 进一步引导学生另辟佳径，易发现参数分离的方法可以把问题转化为■≤a≤■对x∈[0，1]恒成立，则只要分别解决两边的恒成立就可以得到最后的结果，问题得到一定简化. 如果再进一步让学生发现-1-x≤ax2≤1-x的几何意义：实质是抛物线和两条平行直线在[0，1]的位置关系，那么学生更会激动不已. 通过这道例题充分让学生感受到参数位置的变化使我们在选择解题方法时需变得更加灵活.

2. 参数的地位变化

例2 已知二次函数f（x）=x2+ax+1，若a∈[-1，1]时，恒有f（x）≥3，求实数x的取值范围.

评析：此题可以让学生对比例1的结构，发现例2的实际“主参数”应该是a，两道题目字母x和a地位恰巧互换，容易想到例2可以看做关于a的一个新函数，即原题等价于g（a）=xa+x2+1≥3对于a∈[-1，1]恒成立，左边实际上就可以看做是一次函数，最后问题？圳g（-1）≥3且g（1）≥3，从而解出x≥2或x≤2.通过这道例题再次让学生感受到参数问题应该要灵活应变，把谁看做“主参数”完全取决于题目条件的设置.

3. 参数的数量变化

例3 已知不等式xy≤ax2+2y2，对于？坌x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求实数a取值范围.

评析：当对于不止一个参数恒成立的问题时，引导学生首先考虑是否可以转化成基本类型，如原题？圳a≥■-2■■对于■∈[1，3]恒成立，这样就可以通过换元思想，令t=■，原题？圳a≥t-2t2对于t∈[1，3]恒成立，问题立马得到解决. 同时让学生思考此题的其他解法，引导学生选用逐个突破参数的思想来解决，首先解决y，如原题？圳f（y）=2y2-xy+ax2≥0对于y∈[1，3]恒成立，因为对称轴■∈■，■，所以f（y）在y∈[2，3]上单调递增，原题？圳f（y）min=f（2）≥0对于x∈[1，2]恒成立，最后分离参数？圳a≥■对于x∈[1，2]恒成立？圯a≥-1. 这也是解决多个参数恒成立的一个基本思路.

通过这样的教学设计，学生会真正形成解决此类问题的思维体系. 在二轮专题复习的时候采用这样的专题复习课，实际效果要比做大量的仿真模拟试题好很多，同时在教师的不断点拨下学生的思维品质也能得到更好地提升.