丁蕾

摘 要：高中数学是一门对学生思维能力要求较高的学科，学生普遍反映上课都能听得懂，但独立做作业时就出现不会做的现象. 本文从两方面入手深入研究了这一问题，首先是分析“懂而不会”现象出现的原因，并对“懂”和“会”做深层次的界定. 其次，从抓基础、练技能、明思维三方面入手尝试解决这一问题，通过这三个阶段的层层推进，努力帮助学生解决学习数学的这一难题.

关键词：教学研究、“懂而不会”、解决策略

笔者所在学校是一所市级四星级学校，学校的生源属于第二流的类型.笔者近几年来常在高三担任普通班的数学教学工作. 几年来，有一个问题在班级中的许多学生身上普遍存在，那就是“懂而不会”，越来越多的学生，尤其是基础不是特别好的学生，他们经常会说：“老师，我听懂了，但是做题的时候还是不会，或者说，只要题目有点小变化，就没法解决了.” 这个问题一直困扰着学生，同时也困扰着我，那么，为什么会出现这种现象，又如何去解决这个问题，下面笔者就这些问题提点简单的看法和建议.

■“懂而不会”出现的原因

1. 何为“懂”

为什么会出现这种现象，首先我们要对“懂”这个字做点解释. “懂”是学生学习的一个基本境界，而“会”是一个更高的境界. 学生所认为的“懂”一般只局限于他在课堂上能够听懂老师所讲的，能跟上老师的讲题节奏，按照老师的指引和启发解决题目，这仅仅是就题论题. 这种懂是浅层次的，对于高三的学生，这种能力和要求是远远不够的. 我们教师所要求的“懂”应该是懂做题的思路，会用数学语言、图形语言、文字语言来转化，从而把复杂问题简单化；懂解题的方法，会把数学中的四种基本方法分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程融会贯通；懂整套高中数学的知识体系，会把知识点串联起来综合运用，这才是复习阶段学生所应该达到的更高层次.

2. 何为“会”

我们又是如何去衡量一个学生是否“会”呢？当“懂而不会”中的“懂”成了学生的一种错误的个人体验时，“不会”就不是真正的“懂”. 如何判断学生数学知识的学习达到了“懂而会”呢？我们教师可以在教学过程中观察学生的外在表现，分析他们的思维过程，从多角度了解学生“会”的程度.我们主要可以从这三种角度来衡量——“会说”、“会认”和“会用”. 首先是“会说”，看学生能否用自己的语言来正确描述新的数学概念、公式、定理等内涵，是否能够在原有知识经验的基础上对新的学习内容做出自己的合理建构，并发表见解. 其次是“会认”，要判断学生是否能认识问题的本质，数学是对具体事物的抽象化，从而能上升到理论知识，数学知识蕴涵于形形色色的具体情境之中. 会认就是要在大千世界中能够识别出富有内涵的数学，能够在具体情境中认出其中蕴藏的数学知识. 最后是“会用”，学生能否进行灵活运用是衡量“会”的根本所在，所谓灵活运用，就是指抛开问题创设的情境，学生能够快速、准确地抓住问题的本质，灵活运用数学的基本知识与技能和数学精神、思想、方法去分析、解决问题.

学生如果能够达到“会”的三个层次，从而举一反三、触类旁通地解决数学问题，才说明他已真正的理解，这样的“会”，是融会贯通的“会”，是深刻理解的“会”，是能够应对多种问题情境的“会”. 唯有这样，才能实实在在地提高解题能力.

笔者曾用这样一道题对高二和高三的学生做了调查和对比.

例 如图1，给定两个模长为1的平面向量■和■，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若■=x■+y■，其中，x，y∈R，求x+y的最大值.

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图1

思路1：考虑到向量和夹角，图形又比较常规，所以采用建系的方式，写好点坐标，先通过同角三角函数关系sin2α+cos2α=1消元转化为两元求最值问题，然后通过基本不等式解决；

思路2：条件中有向量的模长和夹角，所以可以考虑两边平方，依然可已转化为两元求最值问题，下面解法同1；

思路3：较为灵活，考虑到角度问题，可在等式两边分别点乘■，■，再通过向量的运算转化为x+y=Asin（ωx+φ）+b的三角函数在给定区间上求最值问题.

思路4：如果是填空题还可以直接利用层高原理的性质，利用直线和圆的相切问题解决.

同样一道题，在新授课和复习课这两个不同的时段让学生来解决，区别很大. 高二学生一般只能运用一种思路解决问题，如果遇到困难，就很难完成.而经过几轮复习的高三学生，对此类问题的解决就比较灵活，思路宽泛，能多角度、多层次地考虑问题. 这时，我们说学生是真正的懂了，而且懂了这一类问题，今后碰到此类问题都能信手拈来，并能在解题的过程中，不断提高学生的数学素养.

■如何解决“懂而不会”现象

了解了“懂而不会”的原因后，我们要如何去解决这一现象呢？笔者想可以借用王国维的以下三个境界入手.

1. 抓基础——独上高楼，望尽天涯路

任何事情，基础很重要，打好基础才能建成高楼大厦. 学习是有延续性的，高中数学是一个循序渐进的过程. 在新课的讲授中作为教师一定要讲到位，讲透彻. 学生听懂，不会做，原因确实有很多方面，但很大程度上，是我们的数学课堂教学长期维持一种“为我”的状态，而不是“为他”的状态. 独上高楼，体现在我们教师的备课上，教师经常从自我认知的角度思考问题，而不是从学生认知的角度思考问题. 而教师的思维与学生的思维难免存在一定的差异与脱节，学生是第一次接触新知识，而教师是重复了很多遍了，这样的日积月累必然会导致学生的落后. 所以教师在备课上要精益求精，花更多的时间去钻研讲法，如何才能把一个新知识、一个新定理讲透，讲清，这就需要教师花大量的工夫去设计教学，并把教师的思维痕迹有效地“稚化”，要学会站在学生的角度看待问题，通过生活中的情境，由浅入深，促进学生的思维发展，激发学生学习数学的兴趣，进而提高学生的解题能力. 笔者把这个过程归纳为教师独上高楼，增强专业技能，为学生打好坚实的数学基础.

2. 练技能——衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴

数学作为一门理科学科，免不了要进行大量的练习，正所谓“熟能生巧”. 数学大师陈省身先生主张要熟能生巧，华罗庚先生更有一个说法“把薄的书读厚，把厚的书读薄”，前者是讲“熟”，把每一个细节都弄清楚，然后把厚的书读薄，那就是巧了. 作为学生，更是要在平时的学习过程中，进行科学的、系统的练习.从某种角度来看，数学是技能型学科，用“三天不练手生”来形容绝不为过，因此数学是需要经常练习的，并且不间断. 在平时的作业中，还要注意提高做题的速度和正确率，在高考数学中，很少有人说时间绝对的够用，所以在复习阶段，尤其要注意做题的时间，有目的、有计划地进行解题训练，这样才能达到良好的效果，当然在这个过程中，也要防止“熟能生厌”、“熟能生笨”. 只有付出百般艰辛的努力，在题海中摸索的时间长了，自然也就对题目了如指掌了，在解题过程中才能游刃有余，这一过程需要每一位高三学生付诸努力，天将降大任于斯人也，必将苦其心志，劳其体肤也. 只有全身心的投入，不懈地努力追求，才能打好坚实的基础，为今后的解题奠定基础.

3. 明思维——众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处

前两个阶段踏踏实实地做好了，学习数学也就成功一大半了，应该说接下来是一个水到渠成的过程. 也就是我们平常所说的，教师试图通过讲一个题，而达到一类问题都能解决的效果，而学生能够做到举一反三. 在高考前的复习阶段，为了实现这一目标，我们就要注重在变式引领下的数学解题演练，变式教学的来源是考试的原因，不能出陈题.数学的变式教学就是通过不同的角度、不同的侧面、不同的背景从多个方面变更所提供的数学对象的某些内涵以及数学问题的呈现形式，是数学内容的非本质特征时隐时现，而本质特征保持不变的数学形式. 通过变式训练可以让学生很好掌握问题的本质，从而解决一类问题，并能培养数学思辨能力. 比如说，

例 如函数f（x）=ax，x>1，4-■x+2，x≤1是R上的单调函数，求实数a的取值范围.

本题需要考虑指数函数、一次函数的单调性问题，并进行分类讨论，还要考虑在端点值处的大小比较.

变题：把上题的x改为n且n∈N*，题目就将转变为不连续的函数，可考虑数列中的项的大小问题.

再如，

例 已知不等式x2-2mx-1>0对一切x∈R都成立，则m的取值范围是__________.

本题可以从二次函数的角度用Δ<0来解决.

变题1：已知不等式x2-2mx-1>0对一切1≤x≤3都成立，则m的取值范围是__________.

变题2：已知不等式x2-2mx-1>0对一切1≤m≤3都成立，则x的取值范围是__________.

变题1应从恒成立问题来解决，变题2由于变量换成m，应看做直线来解决，所以题目上细微的区别，导致考查的知识点完全不同，所以通过变式训练，可以让学生对比，并认识到本质.

如果能够很好地经历这三个阶段，我们必将真正意义上解决“懂而不会”这个困扰学生已久的难题.