周淑俊

摘 要：古典概型的教学课是人教A版高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的. 本文根据古典概型的特点，对其第一节教学课进行了简单的设计.

关键词：古典概型；教学设计

■教材分析

本节课是人教A版高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的. 古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位.

■教学目标

1. 知识与技能

（1）理解基本事件的特点；

（2）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；

（3）会用列举法计算一些简单随机事件发生的概率.

2. 过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.

3. 情感态度与价值观

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象.

■重点、难点

重点：理解古典概型的概念及其概率计算公式.

难点：如何判断一个试验是否是古典概型：有限性和等可能性.

■教学内容

一、温故知新

1. 什么是互斥事件？_____________________________

2. 什么是对立事件？_____________________________

3. 概率的加法公式. _____________________________

师生互动：

教师：提出问题.

学生：各组派代表抢答.

设计意图：

引导学生回忆前面所学知识，为学习本节课的新知识奠定基础.

二、创设情境

思考一：

看下面两个试验，分析事件的构成，回答下列问题

1. 试验一：“抛掷一枚质地均匀的硬币”.

（1）试验的结果有几个？_____________________________

（2）它们之间的关系是什么？________________________

2. 试验二：“掷一枚质地均匀的骰子”，看书P119页探究.

（1）试验的结果有几个？？摇？摇___________________________？摇

（2）它们之间的关系是什么？________________________

（3）事件D2、D3、G，H与C1、C2、C3、C4、C5、C6之间的关系是什么？_________________________________________________

师生互动：

教师创设情境，为导入新知做准备.

设计意图：

随着问题的提出，激发了学生的求知欲望，提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣.

基本事件的概念：一次试验可能出现的每一个结果称为一个基本事件.如：试验1中的“正面朝上”、“正面朝下”；试验2中的出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”.

思考二：

（1）在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？

（2）事件“出现偶数点”包含了哪几个基本事件？

基本事件的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

师生互动：

学生回答两个问题，教师适时引出基本事件的两个特点，并加以说明，加深新概念的理解.

设计意图：

问题的引导可以使学生更好地把握问题的关键；培养学生分析问题的能力.

三、实践认知

例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

分析：为了解基本事件，我们可以用列举法把所有可能的结果都列出来.画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果（两步或两步以上）可以用树状图进行列举.

■

解：所求的基本事件共有6个：A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}.

师生互动：

初步感知，熟悉构成任何事件的基本事件；先让学生尝试着列出所有的基本事件，教师再讲解用树状图列举问题的优点.

设计意图：

将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来.

思考三：

以下每个基本事件出现的概率是多少？

试验1：P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=■；

试验2：P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=■.

思考四：

观察对比，找出试验1和试验2的共同特点：

■

经观察，概括总结后得到：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；

（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型.

师生互动：

让学生先观察对比，找出两个试验的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明.

设计意图：

培养学生运用从具体到抽象、从特殊到一般的归纳推理能力.

思考五：你能举出几个生活中的古典概型的例子吗？

师生互动：

关注学生对生活中古典概型的认识和了解，教师根据学生回答适当点评.

设计意图：

通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有古典概型，感受到数学的实际应用.

四、观察比较，推导公式

思考六：

古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率又该如何计算？

试验2：掷一颗均匀的骰子，事件A为“出现偶数点”，请问事件A的概率是多少？

探讨：基本事件的总数为6，事件A包含3个基本事件：“2点”、“4点”、“6点”，则P（A）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=■+■+■=■=■，

即P（“出现偶数点”）=■=■.

由上可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）=■.

提醒：

在使用古典概型的概率公式时，应该注意：要判断所用概率模型是不是古典概型（前提）.

师生互动：

教师提出问题，引导学生分析试验2中“出现偶数点”这一事件的概率，先通过用概率加法公式求出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系.

设计意图：

鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、从特殊到一般的方法来分析问题，突出了古典概型的概率计算公式这一重点.

五、反馈矫正

例2 同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是9的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是9的概率是多少？

解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1、2，以便区分.由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果. （可由列表法得到）

由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种.

（2）在上面的结果中，向上的点数之和为9的结果有4种，分别为：

（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）.

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为9的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得：

P（A）=■=■=■.

师生互动：

教师对学生没有注意到的关键点加以说明.

设计意图：

加深对古典概型的理解（尤其是等可能性），巩固学生对已学知识的掌握.

思考与探究：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3）的结果将没有区别. 这时，所有可能的结果将是：

■

P（A）=■=■.

观察下面两对骰子：

■

上面左右两组骰子所呈现的情况，可以让我们很容易地感受到，这是两个不同的基本事件.

设计意图：建立有效的模型，能缩短解决问题的时间，锻炼学生的数学思维.

■巩固提高

练习：1. 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案.假设某考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P（“答对”）=■=■.

探究：如果该题是不定项选择题，假如某考生也不会做，那么他能够答对的概率为多少？此时比单选题容易了，还是更难了？

2. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中任选一个，所选中的数是3的倍数的概率是_______________.

3. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，求所取的3个球中至少有1个白球的概率.

4. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，求b>a的概率.

师生互动：引导学生用列表的方式来列举试验中的基本事件的总数.

设计意图：随堂练习，及时巩固新知.

■课后作业

（必做）课本130页练习第1，2题课本134页习题3.2A组第4题、6题

（选做）课本134页习题B组第1题

设计意图：

学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足.

■教法、学法及评价分析

（一）教法分析

根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来. 最后在例题中加入模型的展示，帮助学生突破教学难点.

（二）学法分析

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神.

（三）评价分析

在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑. 对于古典概型的判断，两个条件的缺一不可，尤其是例题中等可能性的判断，教师通过实例模型的给出，帮助学生突破思维难点. 整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标.