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(丽水中学 浙江丽水 323000)

等与不等相互转化中不等的构建

●应之宁纪斐

(丽水中学 浙江丽水 323000)

等与不等关系在数学中是既对立统一又相互联系的，它们是中学数学中最基本的辩证关系之一.等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则呈现出了数学的奇异美.在解题中两者的相互转换，特别是构建不等关系促成相等关系，经常让人感觉虽构思巧妙，但技巧性太强，因此在教学中应当将着力点置于“如何让学生的思路自然地接受解法”.笔者认为：难点在于如何构建不等，如果能引导学生在构建不等的过程中充分利用各种数学思想方法，那么学生在解题时便能克服思维障碍、优化解题思路.

1 模型思想从相等中构建不等

例1设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是________．

(2010年浙江省数学高考理科试题)

方法2由S5S6+15=0,得

得

评注方法2如何想到构造不等式？再次审视题目，题中条件是等式，要求的是范围，从等到不等，而等与不等相互转化沟通中最常用的数学模型就是基本不等式.这样,解题思路就自然而又流畅.

2 整体代换思想形成不等促等

分析由题意得

评注本题如何由条件中的等导出不等？自然会想到要构建不等，利用整体代换的思想构建基本不等式，利用“一正、二定、三相等”求出最小值，解法灵活.这种类型的题目是高中数学的经典类型.

3 分类讨论思想构造不等促等

即

cosαsinα-sinβsinα=sinβsinα-cosβsinβ

得

解得

k>-1，

又

故

-1

可得

即

从而

cos2α+(1-k2)2sin2α=(k+1)2,

得

(k4-2k2)sin2α=k2+2k.

(1)当k=0时,上式……