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(杭州学军中学 浙江杭州 310012)

“算两次”的思想方法
——解决数学问题的一把金钥匙

●郑日锋

(杭州学军中学 浙江杭州 310012)

美国数学教育家波利亚说“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”，即将一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理，又称富比尼(G.Fubini)原理．单墫教授在文献[1]中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从2个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法．

“算两次”是从不同角度看问题的另一种说法，是一种常用的数学方法，它体现了数学的转化思想、方程思想.本文阐述“算两次”思想在解题中的作用．

1 建立方程(等式)

通常的列方程其实就是一种“算两次”．2个方面考虑的是同一个量，因此结果相等，这就产生了方程(等式)．许多数学公式的推导可以运用“算两次”思想，如两角和的余弦公式的向量方法证明．

图1

解因为点B，F，E共线，所以存在实数m，使

因此

由平面向量基本定理，得

证明由题意得

f′(x)=x2+2ax+b.

设f(x)的2个极值点为x1,x2，则x1,x2∈[1,2]，且x1,x2是方程f(x)=0的2个根,于是

f′(x)=(x-x1)(x-x2),

得

即

由1≤x1≤2,得

同理可得

于是

即

0≤a+b≤2.

2 建立不等式

如果在考虑一个量时，一方面得到了精确的结果，而另一方面采用了估计(放缩)，或者2个方面都采用了估计(一放大、一缩小)，那就产生了不等式．

例3对于某些正整数n，存在A1,A2,…,An为集合{1,2,…,n}的n个不同的子集，满足下列条件：对任意不大于n的正整数i,j，①i∉Ai，且每个Ai中至少含3个元素；