李小梅

（浙江科技学院 理学院，杭州310023）

第二类曲线积分的计算在微积分学中是一个难点，其中概念既多又抽象，计算既繁又难以判断。如计算时须考虑积分曲线为开曲线或者是闭曲线时的状态，与积分路径有关或无关时的性态，被积函数的偏导是否在区域D内连续还是不连续的条件，曲线是否为正向还是反向时的确定等［1-3］，这些情况在计算第二类曲线积分都必须进行分析。而这些分析恰恰是曲线积分中难以掌握的，特别在研究生入学考试的命题中，曲线积分的出题率很高，而难度系数却又很大，直接导致了较低的解题正确率［4］。本文利用格林公式进行转化，推出了平面上第二类曲线积分计算的一种简便方法，它无需更多的判断就可直接进行计算。

1 准备知识与命题

设曲线L是平面上一条光滑的曲线弧，P（x，y）、Q（x，y）在曲线L上连续。则有：

引理1.1（格林公式） 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有

其中L是D的取正向的边界曲线。

引理1.2（曲线积分性质） 设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则

引理1.3 设L为平行X 轴的一条线段，A（x0，y1）为起点，B（x1，y1）为终点，则

同样，若L为平行Y 轴的一条线段，A（x0，y0）为起点，B（x0，y1）为终点，则有：

证明：略。

根据以上引理，本研究推出以下结论：

定理1.1 设开区域D是一个单连通域，函数P（x，y）及Q（x，y）在D内具有一阶连续偏导数，则有：

其中曲线l是起点为A（x0，y0），终点为B（x1，y1）（x0＜x1，y0＜y1））区域D 内的一条开曲线。

定理1.2 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若O（0，0）∈D，且函数P（x，y）及Q（x，y）在D上除O（0，0）外具有一阶连续偏导数，则有：