周海清

函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连接的主干作用. 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想. 具体讲就是通过类比联想转化，合理地构造函数，从而有效降低题目难度，以达到轻松解题的目的. 函数思想的运用范围不仅在函数问题的高考试题中，而且在不等式、数列、解析几何等问题中也有不俗表现.

1. 数列

数列从本质上来讲是函数，用函数思想解决数列问题不但能够加深对数列概念的理解，而且能加强知识点间的联系.

例1 等差数列｛bn｝中，b1 > 0，前n项的和为Tn，若Tl = Tk（l ≠ k），当n取何值时Tn最大？

解析 运用数列中的通项公式的特点，把数列问题转化为函数问题解决.

设ｆ（ｎ） ＝ Ｔｎ ＝ ｎｂ１ ＋ ｄ，ｎ∈Ｎ，

则ｆ（ｎ） ＝ ｄｎ２ ＋ （b１ － ）ｎ，此函数是以ｎ为自变量的二次函数．

∵ b１ ＞ ０，Ｔｌ ＝ Ｔｋ（ｌ ≠ ｋ），

∴ d < 0，

∴ 二次函数ｆ（ｎ）的图像开口向下．

∵ ｆ（ｌ） ＝ ｆ（ｋ），

∴ 当ｘ ＝时， ｆ（ｘ）最大，但ｆ（ｎ）中ｎ∈Ｎ，

∴ 当l + k为偶数时，n = 时，Tn最大.

当l + k为奇数时，n = 时，Tn最大.

2. 平面解析几何

在解决平面解析几何问题时，若是能够通过仔细读题，发现某些点、线之间的联系，并用函数来刻画，往往会起到事半功倍的效果.

例2 设a > b > c且a + b + c = 0，抛物线y = ax2 + 2bx + c被x轴截得的弦长为m，证明： < m < 2.

解析 由于弦长m是与ａ，ｂ，ｃ有关的变量，若能找到它们之间的关系式，问题就变简单了.

∵ a > b > c且a + b + c = 0，

∴ ａ ＞ ０，ｃ ＜ ０.

∵ Δ = 4b2 - 4ac > 0，

故方程ａｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０必有两个不同实根ｘ１，x2 .

∴ m2 = （ｘ１ － ｘ２）２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ４ｘ１ｘ２ ＝-=

４（ - ） = 4［(1 + )2 - ］ = 4（ + ）2 + 3.

∴ m2是的二次函数，由a > b > c且a + b + c = 0，可知-2 << -，当< -时，m2是单调递减的．

∴ ４（－ ＋ ）２ ＋ ３ ＜ ｍ２ ＜ ４（－２ ＋ ）２ ＋ ３，

即3 < m2 < 12，又m > 0，

∴< m < 2.

例3 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e = ，已知点P（０，）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

解析 设椭圆的方程为 += 1，因为e = ，

∴== ，

∴ a = 2b，故 +＝ １．

设椭圆上的点P１（ｘ，ｙ……