尹聪春

［摘要］ 非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。本文主要介绍用Excel规划求解工具制作的非线性规划模型来解决经济管理中的产品组合问题。

［关键词］ 非线性规划； 模型； 产品组合； 应用

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 08. 065

［中图分类号］F272［文献标识码］A［文章编号］1673 - 0194（2012）08- 0096- 02

1非线性规划数学模型

对实际规划问题作定量分析，必须建立数学模型。建立数学模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，称之为目标函数。然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，称之为约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，使满足约束条件：

ｇｉ（ｘ１，…，ｘｎ） ≥ ０ ｉ ＝ １，…，ｍ

ｈｊ（ｘ１，…，ｘｎ） ＝ ０ｊ ＝ １，…，ｐ

并使目标函数ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）达到最小值（或最大值）。其中：诸ｇｉ和诸ｈｊ都是定义在ｎ维向量空间Ｒｎ的某子集Ｄ（定义域）上的实值函数，且至少有一个是非线性函数。

上述模型可简记为：

ｍｉｎ ｆ（ｘ）

ｓ．ｔ． ｇｉ（ｘ） ≥ ０ ｉ ＝ １，…，ｍ

ｈｊ（ｘ） ＝ ０ ｊ ＝ １，…，ｐ

其中ｘ ＝ （ｘ１，…，ｘｎ）属于定义域Ｄ，符号ｍｉｎ表示“求最小值”，符号ｓ．ｔ．表示“受约束于”。

定义域Ｄ中满足约束条件的点称为问题的可行解。全体可行解所成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解ｘ*，如果存在ｘ*的一个邻域，使目标函数在ｘ*处的值ｆ（ｘ*）优于（指不大于或不小于）该邻域中任何其他可行解处的函数值，则称ｘ*为问题的局部最优解（简称局部解）。……