林清龙

摘要：本题要研究的是ab的取值范围，可以理解其为研究对象为“积的形式”，而已知条件中含有的不仅有ab，也有a+b，即既有“积的形式”，也有“和的形式”。

关键词：基本不等式；教学；特征

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0139-02

在均值不等式a+b≥2■（a、b∈R+）的应用中，大多强调“一正二定三相等”，这指的是在用均值不等式时该注意的一些要求，本文就不进行过多研究。事实上，问题在于不知何时该用均值不等式解题，因此，笔者认为在学习均值不等式的时候应强调其本质特征：①a+b是两数“和的形式”；②是两数“积的形式”；③均值不等式给出的是两个数“和的形式”与“积的形式”存在着某一不等关系，即a+b≥2■（a、b∈R+）；④不等式两边是同次的。只有抓住其本质特征，才能在解题的过程中考虑到应用均值不等式。下面用几个实际例题的分析和解答，来谈谈均值不等式及其变式的应用。

一、均值不等式的应用

例1：已知a+b≥2■（a、b∈R+）。求ab的值范围。分析；本题要研究的是ab的取值范围，可以理解其为研究对象为“积的形式”，而已知条件中含有的不仅有ab，也有a+b，即既有“积的形式”，也有“和的形式”。于是，自然可以产生一种思路，即：利用均值不等式将“和的形式”转化为“积的形式”，这样，原先的等式就转变为只含“积的形式”的不等式了。则问题迎刃而解，得到解法如下：

解：∵a，b∈R+ ∴a+b≥2■

∴2=ab+a+b≥ab+■

∴ab+■-2=（■+2）（■-2）≤0

∴■∈［-2，1］ ∵a，b∈R+ ∴■∈（0，1］得。

类似地，也可以轻易解决变式：已知a＞0，b＞0且ab-a-b-1≥0，求a+b的最小值。

例2：求证：log23＞2log32。分析：本题选自于湘教版选修4-5第23页例3，书中的证明思路为：证明log33=log827＞log916=2log327，引入中间变量，笔者认为这个证法并不利于学生接受。……