王枫

[摘 要]Cauchy—Schwarz不等式是一个形式简单，使用方便的积分不等式，在证明某些含有乘积及平方项的积分不等式时，颇为有用。为加深对Cauchy—Schwarz不等式的理解，以便更好地应用，介绍了几种新的有代表性的证明方法。

[关键词]Cauchy—Schwarz不等式 判别式

[中图分类号] O122.3[文献标识码] A[文章编号] 2095—3437（2012）09—0064—02

Cauchy—Schwarz不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，无论是代数，几何都有着广泛的应用。近年来在数学竞赛及研究生入学考试中Cauchy—Schwarz不等式同样作为测试的重点内容。但大部分高等数学教材中仅仅给出辅助函数法的证明，在教学过程中部分学生对其理解明显感到困难。本文给出了四种方法对Cauchy—Schwarz不等式加以证明，同时也为大学数学教师的教学提供参考。

定理（Cauchy—Schwarz不等式）：

所以F′（t）≥0，t∈[a，b]，可知F（t）是单调不减函数，当a

此法利用变上限积分作辅助函数，可把要证的积分不等式转化为判别函数值的符号，这是一种证明积分不等式的重要方法。有兴趣的读者也可以利用辅助函数法，通过拉格朗日中值定理和积分中值定理判别函数值的大小，从而证明结论。

证法二：判别式法

当f（x），g（x）中有一个恒为0时，不等式显然成立

当f（x），g（x）均不为0时，对？坌t∈R，有 即

上式是关于实数的二次三项式，其判别式应满足△=B2—4AC≤0，即

故

应用判别式法的关键是通过参数的引进，使问题转化为二次三项有无根的问题，判别式法是初等数学的重要方法，利用它来解决高等数学的问题值得注意。

证法三：利用重积分

由重……