陈勇军

直线与圆是高考的热点，也是高考的难点，对这块内容复习切不可只是下苦功夫，要多动脑筋、勤施小计，才能使问题得以迎刃而解。本文就直线与圆的问题举数例说明。

【例1】如图1，一根棒AB长为2米，斜靠在墙壁AC上，∠ABC=60°，如果棒的两端A,B分别沿AC、CB方向滑动到A′B′，且AA′=(3－2)米，问棒的中点D运动的路程是米.

分析目标需要求棒的中点D运动的路程，就必须知道点D的运动变化轨迹；在棒运动过程中，点A、B、D的位置发生变化，哪些量没有发生改变呢？——线段AB的长度及∠C=π2是定值，进一步可知，△ABC始终是直角三角形，同时DC=12AB=1，从而点D的运动变化轨迹是单位圆的一部分。

解如图2，点D,D′分别是线段AB,A′B′的中点，点D的运动轨迹是单位圆的一部分弧DD′，∠DCB=∠DBC=π3，因为AA′=(3－2)，所以A′C=AC－AA′=3－(3－2)=2，又A′B′=2，从而△A′CB′是等腰直角三角形，所以∠D′CB′=π4，进而∠DCD′=π3－π4=π12，所以弧DD′的长度为π12×1=π12米.

点拨探求动点轨迹问题时，需要理清“动”与“定”，从“动”“定”中需求解题方法。

总结：（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一结论是处理圆轨迹问题的常用方法。

（2） 圆弧l=Rθ（R为半径，θ为圆弧所对的圆心角）。

【例2】点P(1,0)在直线l:ax+by+c=0上的射影为点M，其中a,b,c是满足2b=c－a的任意三个实数，定点N(－3,2)，则|MN|的取值范围是.

分析（1） 直线l有没有什么性质呢？其中系数满足2b=c－a。消去b，直线l可化为ax－12y+c12y+1=0，令x－12y=0,12y+1=0，得x=－1,y=－2，从而直线l过定点Q(－1,－2)。

（2） 射影点M在哪里？始终保持∠PMQ=π2，且PQ=22，从而点M在以线段PQ为直径的圆上，问题转化为圆外一点到圆上动点M的距离的最值问题。

解如图3，根据分析可得|NA－AM|≤|MN|≤|NA+AM|，从而22≤|MN|≤42，即|MN|的取值范围是［22,42］.

点拨注意隐含条件直线过定点。

总结：（1） 直线m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n∈R,A1B2≠A2B1)过定点，定点为方程A1x+B1y+C1=0,

A2x+B2y+C2=0的解。……