通性通法Tong Xing Tong Fa通性通法Tong Xing Tong Fa类型一空间中点线面位置关系的证明

【例1】如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=22．

求证：（1） PA⊥平面EBO；

（2） FG∥平面EBO．

分析（1） 可利用“线线垂直”来证明“线面垂直”。先证明OE⊥PA，BO⊥PA；

（2） 证明直线与平面平行常用的方法有：一是判定定理（线线平行推出线面平行）；二是面面平行的性质定理（面面平行推出线面平行）。

证明由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．

（1） 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，

因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

BO计矫鍭BC，所以BO⊥平面PAC．

因为PA计矫鍼AC，所以BO⊥PA，

在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE⊥PA，

又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.

（2） 连接AF交BE于Q，连接QO．

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，

于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.

因为FGて矫鍱BO，QO计矫鍱BO，所以FG∥平面EBO．

点拨要证“线面平行”，也可以转化为证“面面平行”，通过取PE的中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得。

类型二存在性问题

【例2】在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AD,DD1的中点，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为403.

（1） 求A1A的长；

（2） 在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由.

分析(1) 求几何体ABCDA1C1D1的体积通过补形。

（2） ①存在性的问题，可通过分析——下结论——证明。

②若在线段BC1上存在点P，使A1P与C1D垂直。由三点D1,A1,P确定的平面交CC1于Q。由于C1D与A1D1垂直，只要C1D与D1Q垂直即可。

（3） 在直角梯形A1PQD1中可求线段A1P的长。

解（1） ∵VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1-VBA1B1C1

=2×2×AA1－13×12×2×2×AA1

=103AA1=403,∴AA1=4.

（2） 在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D.

因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D计矫鍯C1D1D,∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1，

又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQD1，

且A1P计矫鍭1PQD1,∴A1P⊥C1D.

∵△D1C1Q∽△C1CD,∴C1QCD=D1C1C1C,

∴C1Q=1,又∵PQ∥BC,∴PQ=14BC=12.

∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=5,∴A1P=2－122+5=292.

类型三立体几何中的最值问题

【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．