一类双险种复合Poisson-Geometric过程风险模型

2011-09-26彭朝晖晏小兵

统计与决策 2011年15期

彭朝晖,甘柳,晏小兵

0 引言

在风险理论中，古典风险模型经过较长时间的完善和补充，已经成为最完美的风险理论。而古典风险模型中，索赔来到过程是一个Poisson过程,Poisson过程的一个重要性质是均值等于方差,但在保险公司的实际运作中是难以具备这样的性质的。为了使模型更加符合实际,不少人对索赔来到过程进行了推广，其中文献[1]提出了一类称为复合Poisson-Geometric过程的计数过程,建立了如下模型:

其中，U(t)为保险公司在t时刻的盈余量,c为单位时间内收取的保费,u≥0为公司的初始盈余,{N(t);t≥0}是参数为λ、ρ的复合Poisson-Geometric过程,Xi表示第i次索赔额。针对模型(1),文献[1]给出了其破产概率所满足的更新方程,并在索赔额Xi服从指数分布时,得到了破产概率的显示表达式;文献[2]在索赔分布Xi为相位分布的情况下,得到了破产概率的显示表达式,并进行了数值计算;文献[3]得到了Gerber-Shiu折现罚金函数。

随着保险公司经营规模的不断扩大，险种日益呈现多元化，近年来也有不少研究了多险种的风险模型，例如：文献[4]对两个险种的索赔到达过程均为齐次Poisson过程的风险模型进行了研究，得到了破产概率的近似表达；文献[5]和[6]在此基础上对将各个险种的保费收入过程{ct;t≥0}推广为Poisson过程或复合Poisson过程；在此基础上文献[7]将保费收入过程推广为两个独立复合Poisson过程之和；文献[8]则将文献[5]～[7]纳入一个框架之下，即它们都可以表示成为两个独立的谱正Lévy过程的差，并研究了这一类模型的首达时的性质和生存概率的Pollaczek-Khinchin公式。

本文拟建立一类双险种风险模型，一个险种的索赔来到过为复合Poisson-Geometric过程，另一个险种的索赔来到过程的时间间隔服从广义的Erlang(n)分布。然后得到Gerber-Shiu折现罚金函数所满足的积分微分方程,利用鞅方法得到了该模型的Lundberg方程,并且利用Laplace变换给出初始资本为0时的Gerber-Shiu折现罚金函的精确解。

1 模型定义

我们考虑如下模型：

其中，{X(1)i,i=1,2,…}和{X(2)j,j=1,2,…}分别为两相互独立的随机变量序列,其分布函数分别为F(x)和G(x),密度函数分别为 f(x)和g(x),均值为 μ1和 μ2。{N1(t);t≥0}是参数为λ,ρ的复合Poisson-Geometric过程,{N2(t);t≥0}独立于{N1(t);t≥0},是一个更新过程,其来到的时间间隔{Vi}i≥1,这里假设{}Vii≥1服从广义的 Erlang(n)分布,参数为λ1,λ2,…,λn,即Vi可以分解为Vi=Vi1+Vi2+…+Vin。其中Vij服从均值为1λj的指数分布。

为了保证保险公司经营稳定,单位时间内的保费收入应大于其单位时间内的理赔,即：

本文恒设式(3)成立。

定义1 设 λ＞0,0≤ρ＜1,称 {N(t);t≥0}是参数为 λ,ρ的复合Poisson-Geometric过程,如果

(1)N(0)=0;

(2){N(t);t≥0}具有平稳独立增量;

(3)对 t≥0有 N(t)～PG(λt,ρ)

设保险公司初始准备金为u,破产时刻为Tu=inf{t≥0|u+X(t)＜0}。相应的最终破产概率定义为ψ(u)=P(Tu＜∞|U(0)=u)。

我们定义一个随机变量M,M=m如果破产是由第m(m=1,2)个险种的索赔导致的。这样破产概率ψ(u)就可以分解为ψ(u)=ψ1(u)+ψ2(u),这里

ψm(u)=P(Tu＜∞,M=m|U(0)=u)（u≥0,m=1,2)

设ω(x),x＞0为一非负函数,定义如下折现罚金函数

φm(u)=E[e-δTω( ||U(T)I(T＜∞,M=m)|U(0)=u],(u≥0 ；m=1,2)

2 Gerb er-Sh iu折现罚金函的积分微分方程

因为Vi=Vi1+Vi2+…+Vin,其中Vij服从均值为1λj的指数分布,对于时间段Vi。假设0时刻开始时,处于时间段V1中的第 j个小时间段V1j(j=1，2，…，n),称这个小时间段为状态,这样由指数分布,从状态 j转移到 j+1的强度为λj；从状态n转移到状态1的强度为λn。

假设φm,j(u)表示处于状态 j时,最终由第m(m=1,2)个险种的索赔导致破产的模型的折现罚金函数。下面推导φm,j(u)所满足的积分微分方程。假设开始处于状态j，j=1,2,…,n-1,对于充分小的时间Δt,我们考虑(0,Δt]内的情况,分成四种:①第二个险种无状态转移,第一个险种无索赔；②第二个险种无状态转移,第一个险种发生索赔；③第二个险种发生状态转移,第一个险种无索赔；④第二个险种状态转移,第一个险种发生索赔。于是有：

化简并利用文献[1]引理6,我们得到：

其中：ωf(u)=∫0uω(x-u)f(x)dx

当处于状态n时,我们有：

化简得到

利用同样的方法,我们可以得到：

3 Lun d berg方程

记 τ0=0，τk=∑ki=1Vi为第二个险种第k次索赔来到的时刻，令 U0=u ，对于 k=1,2,…，Uk=U(τk)=u+cτk-为第二个险种第k次索赔后的盈余过程。下面我们找一个 s使得 {e-δτk+sUk;k=0,1,2…}是一个鞅,容易得到：

又因为

所以鞅条件为：

我们把式(8)称为模型(2)的Lundberg方程。容易看出当λ=0,ρ=0 时,式(8)退化为文献[9]中的情况。

定理1 δ＞0时式(8)有n个根s1,s2,…,sn,且Re(si)＞0。

令 Aδ(s)=Λδ(s)+B(s),这样 ||Aδ(s)=0 就等价于式(8)。利用文献[10]、[11]中的方法，令 Aδ(s,u)=Λδ(s)+uB(s),δ＞0时,用ς表示半径为R的区域(包括边缘),其中.下面证明,当0≤u≤1时, | Aδ(s,u)|≠0,当s∈ς。因为i=1,2,…,n-1时有：