●丁国先 (杭州高级中学 浙江杭州 310003)

在合情推理中，归纳与类比思想方法是培养创新思维能力的基础，高考对这一思想方法的考查情有独钟，反映了命题者深刻领悟数学课程标准中对学生数学能力要求的理解.同时这类考题既能考查学生课本知识的掌握程度，也在一定程度上反映学生思维创新能力的强弱.学生学习了归纳与类比并有所认识后，在学习等比数列时，就会将等比数列与等差数列从学习的目的性、研究的方法、类型、知识体系等方面进行归纳与类比，产生迁移，正确地分辨出等差、等比数列的异同点，从而真正地理解等比数列.

1 平衡型归纳与类比

平衡型归纳与类比是指已知对象A1，A2，A3，A4，归纳得出A5或A6，或已知2个对象 A，B所处的地位平等，由A所具有的性质类比得出B所具有的性质，这类题在高考中属于容易题，得分情况较好.从题型上表现为从有限到有限的归纳与类比或对偶式归纳与类比等.

1.1 从有限到有限的归纳与类比

例1 观察下列等式：1+2=3，1+2+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第5个等式为_______.33233

(2010年陕西省数学高考理科试题)

分析1 根据已知的3个有关正整数的等式的外部结构特点可知，第5个等式的左边是

而右边是一个完全平方数，因此可以计算左边

所以第5个等式为分析2 仔细观察已知的3个有关正整数的等式的内部结构特点，可知根据上述规律和第4，5个等式分别为

因此第5个等式为

例2 5位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第1位同学首次报出的数为1，第2位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前2位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次.已知甲同学第1个报数，当5位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为_______.

(2009年福建省数学高考理科试题)

分析设报到第n个数为an.首先归纳出甲开始依次循环报数 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…中3的倍数是周期出现的，a4m为3的倍数(m∈N*)，而甲同学报的数为a5t+1(t∈N)，所以当5位同学依序循环报到第100个数时甲同学报的数中是 3 的倍数的有 a16，a36，a56，a76，a96，故甲同学拍手的总次数为5.

例3 给出下列等式，观察领会其特点，并填空：

(2009年福建厦门适应性考试试题改编)

分析首先理解领会4个等式的含义，仔细观察、推敲、归纳，等式的一个共同特征是把一个正整数n分解为连续的若干个正整数的和，类比这4个等式，可以写出70的3种分解方法为：

1.2 对偶式归纳与类比

在高中数学中对偶表现形式较多，譬如指数与对数、导数与积分、等差与等比数列、不等式与方程等，因此对偶式的归纳与类比在高考及各类考试中也经常出现.

例4 观察表1已知的部分内容，填空：

表1 等差、等比数列的性质

例5 在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19，n∈N+)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若 b9=1，则有等式________成立.

(2010年上海市数学高考试题)

答案：b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n ＜2k-1，n∈N*).

1.3 从图像到图像的归纳与类比

例6 如图1，对于函数f(x)=x2(x＞0)上任意2 个点 A(a，a2)，B(b，b2)，连结线段 AB，则 AB必在的上方.设点C分的比为 λ(λ ＞0)，则由点 C在点 C'上方可得不等式请分析函数y=lnx(x＞0)的图像，类比上述不等式可以得到的不等式是 .

图1 图2

2 递进型归纳与类比

递进型归纳与类比是指已知对象A1，A2，A3，A4，归纳得出An，或已知2个对象A，B所处的地位不平等，由A所具有的性质类比得出B所具有的性质.与平衡型归纳与类比相比较，递进型归纳与类比的结果具有一般的属性或从低级别的情形类比发展到高级别的情形.从辨证的角度讲，平衡型归纳与类比是量的变化，而递进型归纳与类比已是质的飞越.因此在高考中递进型归纳与类比考查更普遍，这类题在高考中属于中档题，得分情况一般.

2.1 特殊到一般的归纳

例7 设 n≥2，n∈N，且

(2010年浙江省数学高考理科试题)

分析本题主要考查了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题.考生只需要对已知T2，T3，T4，T5的表达式进行结构上的归纳与类比，不难得到当n≥2时，与此题相仿的是2009年浙江省数学高考理科试题第15题.

多考一点想，少考一点算，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值.浙江省连续2年考查此类题型，既说明对课程新增内容考查力度不减，又体现命题者对合情推理——发现数学结论、证明思路的青睐.

2.2 从平面到空间的类比

例8 在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的2条边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的3个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则_______”.

(2003年全国数学高考文科试题)

例9 在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中2个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

(2004年上海市春季招生数学高考试题)分析 根据类比猜想可得

其中θ为侧面ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角.作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF，则∠DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成的角在△DEF中，由余弦定理

类比是数学发现的重要源泉，因此在平时的教学与复习中更要注意类比思想方法的学习.求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，同时要求对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等高度寻求内在的类比关联性.

2.3 方法与策略的归纳与类比

例10 请先阅读：在等式cos2x=2cosx-1(x∈R)的2边求导，得

由求导法则得

(2)对于正整数n≥3，求证：

(2008年江苏省数学高考理科试题改编)

分析数学教学不仅要教“知识”，更重要的是教“思考”，强调类比思维在数学教学中的应用有其实际意义，将变大量的记忆为联想型思维，变机械枯燥的数学为演绎快乐的数学，对帮助学生减轻负担、提高效率、培养学生的科学素养与人文精神十分有益.本题体现了类比解题思想方法与策略，容易激发学生的创造热情，获得成功感.

(1)类比已知的解题方法，在等式

两边对x求导，得

移项可知

(2)①在第(1)小题所得等式中令x=-1，则

②类比第(1)小题中的思想方法，对等式

2边再求导，得

3 综合型归纳与类比

在高考中常有一种新题型，它以高中教材知识为背景，定义一个新的概念、规定一种新的运算、引申一个新的命题，让考生利用已有知识为基础，经过对学过知识的归纳总结，通过类比，分析并解决新概念、新运算、新命题所形成的问题.这类考题难度大，思维品质要求高，得分较困难.

例11 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为_______，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_______.

(2004年北京市数学高考试题)

分析本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其获得这些知识的数学活动的经验为基础.考生通过对等差数列概念类比，研究等差数列性质的方法归纳与类比，对题中等和数列概念与性质也就容易理解与掌握了.由等和数列的定义得

2式相减得(方法类比)：

又 a1=2，公和为5，则 a2=3，因此

(2002年上海市数学高考试题)

分析本题“新的规定(x∈R，m 是正整数)”是组合数(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广，目的是考查考生对相关数学思想方法的类比运用以及创新思维能力.

(1)根据新规定直接进行演算即可：

(3)需要就x与m的大小作出逻辑划分并进行严密地论证.

当x≥m时，x，m都是正整数，Cmn就是组合数，结论显然成立;

数学中的合情推理多种多样，其中归纳推理和类比推理是2种用途最广的合情推理.在数学教学中，要有意识地培养和发展合情推理，经常开展操作、实验、观察等数学活动，让合情推理能力的培养贯穿于数学教学的始终.将归纳与类比引入数学新概念的教学，可使学生更好地理解数学概念的内涵与外延;将归纳与类比法用于定理、法则的教学，可加深对定理法则的理解和记忆，使所学知识系统化;将归纳与类比用于寻找解题思路是一条提高学生思维能力的有效途径，在课堂上要有意识地引导学生自觉运用类比方法去探索、获取新知识，从而达到提高学生思维能力、创新能力的目的.