●赵临龙 (安康学院数学系 陕西安康 725000)

文献［1］给出平均不等式链：

的多种几何模型，笔者就平均不等式链的几何模型的本质作一深入研究，供参考.

1 平均不等式的几何意义

文献［2］给出了调和点列的定义：

对于一直线上排列的4个点A，B，C，D构成的

并给出调和点列的作图方法：

如图1，当点C在AB的延长线上时，过点C作以AB为直径的⊙O的切线CP切圆于点P，过点P作直径AB的垂线交AB于点D.于是点D是点C对于A，B的调和共轭点.

图1 图2

如图2，当点C在AB内时，过点C作AB的垂线交⊙O于点P，过点P作⊙O的切线PD交AB的延长线于点D，于是点D是点C对于A，B的调和共轭点.

调和点列的这种“对称性”为认识正数a，b的4种平均不等式的本质带来极大的方便.

2 平均不等式链的几何“新”模型

模型1 如图3，在图1的基础上，设切点弦PQ交⊙O的直径于点M，过圆心O作OE⊥AB于点E，则点E为AB的中点.由于点A，B在点C的同侧，令 CA=a，CB=b(a≥b＞0)，则

(1)在 Rt△FCE 中，由于 CF≥CE，则

(2)在△PEC 中，由 OE⊥AB，OP⊥PC，得点E，O，C，P 共圆，于是

从而 EC≥PC，即

(3)在△CDP中，∠PDC或∠QDC中有一个为非锐角，如图3.若∠PDC为非锐角，则 CP≥CD，即

综上所述，证得不等式(1).

图3

图4

特例 如图4，当割线CBDA过圆心O时，点D合于点M，点E合于点O，点F落在⊙O上.于是由 Rt△CFO，Rt△OCP，Rt△CPD 的斜边不小于其直角边得

从这里可以看出，模型1具有一般性，它真正反映了问题的本质.

模型2 如图5，在图2的基础上，过圆心O作OE⊥AB交⊙O于点E，连结CE，则

此时点 A，B在点 C的异侧，若令 AC=a，BC=b(a≥b＞0)，则

但由调和点列结论得

即构造方法发生了变化.

图5

图6

现在，过点 C作 CF⊥PD于点 F，则由Rt△CDF得

于是由 Rt△CEO，Rt△OPC，Rt△PCF 的斜边不小于其直角边得

故证得不等式(1).

推广 如图6，当割线ACBD离开圆心O，且满足PC=CQ时，过圆心O作OE⊥AB于点E，并延长OE至点F，使得

其中 AC=a，BC=b(a≥b＞0)，于是

再过点C作CK⊥GD交GD于点K，得

于是由 Rt△CFE，得

在 Rt△OCE 中，CO≥EO，因为

又由 Rt△GKC，GC≥KC，得

综上所述，证得不等式(1).

该方法为两正数4种平均不等式链提供了一个“新”几何模型，对于研究4种平均不等式链的本质有重要意义.

(此文为陕西普通本科高等学校教学改革研究项目(09BY70);安康学院重点扶持学科(AZXZ0107)部分成果.)

［1］ 康宇.关于不等式链的函数与几何模型［J］.数学通报，2009(11)：39-41.

［2］ 郭锐，赵临龙.调和点列的妙用［J］.中学教研(数学)，2010(1)：26-27.