安徽省砀山中学(235300)盖传敏

周期数列的定义对于数列{an},若存在正整数T,使得对于任意正整数n,都有an+T=an,则称数列{an}为周期数列.其最小正周期记为T.

结论1在数列中{an},若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an+k=-an,则数列{an}是周期为2k的周期数列.

证明因为an+2k=-an+k=an,所以数列{an}是周期为2k的周期数列.

结论2在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有则数列{an}是周期为2k的周期数列.

证明因为所以数列{an}是周期为的周期数列.

结论3在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有则数列{an}是周期为2k的周期数列.

证明因为所以数列{an}是周期为的周期数列.

结论4在数列{an}中,若存在正整数k,使得对于正整数n(n＞k),都有an=an-k+an+k(n＞k),则数列{an}是周期为6k的周期数列.

证明由

可得

①式加②式可得an+2k=-an-k(n＞k),即an+3k=-an(n∈N+).由结论1可知数列{an}是周期为6k的周期数列.

结论5在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于正整数n(n＞k),都有an=an-k·an+k(n＞k),则数列{an}是周期为6k的周期数列.

证明由

可得

结论6在数列{an}中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an+an+1+an+2+···+an+k-1=m(m∈R),则数列{an}是周期为k的周期数列.

证明由

可得

⑥式减⑤式得an+k-an=0,即an+k=an,所以数列{an}是周期为k的周期数列.

结论7在数列{an}(an/=0)中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an·an+1·an+2·····an+k-1=m(m∈R,m/=0),则数列{an}是周期为k的周期数列.

证明由

可得

⑧式除⑦式可得an+k=an,所以数列{an}是周期为k的周期数列.

结论8在数列{an}中,若存在正整数k,使得对于任意正整数n,都有an·an+1·an+2·····an+k-1=an+an+1+an+2+···+an+k-1,且an+1·an+2·····an+k-1/=1,则数列{an}是周期为k的周期数列.

证明由

可得

⑩式减⑨式可得

(an+1·an+2·····an+k-1-1)(an+k-an)=0,

又因为an+1·an+2·····an+k-1/=1,所以an+k=an,即数列{an}是周期为k的周期数列.

应用

例1(高一“希望杯”试题)数列……