●凌云志 (黄山区教育局教研室 安徽黄山 245700)

我们知道“经过平面上2个点的圆有无数个且圆心都集中在这2个点的中垂线上”，这也启发我们去探究：经过平面上任意2个点的抛物线是否也有无数个?即便能够明确经过2个点的抛物线有无数个，那能否按照某种需求来选择或明确经过已知2个点的抛物线呢?顺延这条思路，深挖下去，会显出丰实的宝藏.

探究1 经过平面上任意2个点的抛物线是否有无数条?

在平面直角坐标系Oxy中，若有一条曲线y=ax2+bx+c经过任意给定的2个点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由c为参量，得c可以取到无数个不同的值使得a≠0，可知过点A，B的抛物线有无数条;

(2)当x1x2(x1-x2)=0时，不能由方程(1)来明确a的解，这时虽然找到与y轴平行的对称轴且过点A，B的抛物线很难，但可以适当地重新选择坐标系O'x'y'(将原坐标系平移后再旋转)，使得点A，B 在新坐标系下的坐标为 A(x1'，y1')，B(x2'，y2')，并满足 x1'x2'(x1'-x2')≠0.仿照(1)的推导，如图1所示，过点A，B的抛物线也有无数条.因为式(2)可以看做a是c的一次函数，a与c是互定关系，所以取定a后，b，c也就随之确定，于是得结论1.

结论1 经过平面上任意2个点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的抛物线总有无数条.只要满足条件：x1x2(x1-x2)≠0，则可以选择任意开口大小和开口方向不同的抛物线经过这2个点，但对明确了的开口大小和开口方向的抛物线有且只有1条.

探究2 对于满足条件：x1x2(x1-x2)≠0的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何选择适度的开口大小的抛物线，使得抛物线经过这2个点时，不被其对称轴分开.

图1

图2

图3

若约定：点A在点B的左边(x1＜x2)，则点A与点B的相对位置有3种情况：(1)如图2，点A在点B的下方(y1＜y2);(2)如图3，点A在点B的上方(y1＞y2);(3)点A与点B一样“齐”(y1=y2).

先就图2所示的第1种情况展开讨论：为使过点A，B的抛物线的对称轴不将2个点分开，因抛物线开口向上，点A，B只能位于对称轴的右侧(允许点A可以在对称轴上)，这时

若选择的抛物线开口向下(图3所示的第2种情况)，点A，B只能位居对称轴的左侧(允许点B在对称轴上)，因对称轴方程为

综合式(3)和式(4)，不论抛物线开口向上还是向下，对图2中的情形，为使过点A，B的抛物线的对称轴不将两点分开，抛物线开口大小必须满足：

最后，当y1=y2时，显然任何经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的抛物线，点 A，B 一定是抛物线对称轴的对称点，不可能找到满足条件的抛物线.反映在式(5)上的要求：|a|≤0，解得a=0(抛物线不存在)，同样得到说明.

探究3 反过来，是否经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的抛物线y=ax2+bx+c，满足条件(5)就一定不被抛物线的对称轴分开呢?

就图4所示的情况进行分析：假定在开口向上的抛物线的对称轴的2边任意取点A(x1，y1)，B因此可以将条件统一为(x2，y2)，设顶点 M(m，l)，于是

由 y2=a(x2-m)2+l，得

图4

图5

说明 落在抛物线上的对称轴的2边任意2个点是不会满足条件(5)的.有兴趣的读者可以去研究图5所示的情况，结果一样.