林金星 费树岷

(1南京邮电大学自动化学院，南京 210003)

(2东南大学自动化学院，南京 210096)

传统的自适应控制对参数时不变或慢时变的对象能进行很好的控制.但当工况条件改变、故障或外部环境变化等因素导致对象参数发生大的变动时，系统暂态响应会明显变差.多模型自适应控制(MMAC)方法为上述问题的解决提供了一种有效的思路［1］.MMAC最初以连续时间线性系统［1－2］为研究对象.近年来，国际上对 MMAC 的研究已拓展到离散时间线性系统［3］、非线性系统［4－5］以及随机系统［6－7］，在这期间国内学者又提出了一些改进算法［8－9］，但对具有扰动系统的研究并不多见.此外，为提高系统暂态性能，MMAC方法必须建立大量的固定模型以覆盖系统可变参数的变化范围.假设系统有3个可变参数(a1，a2，a3)，若对每个参数区间取10个采样值，则共需10×10×10=1 000个固定模型.固定模型数目过多的直接后果是计算负担过重，对硬件设备的要求迅速提高，甚至会限制系统采样周期的减小.文献［10］通过动态调节可移动参数集的中心以覆盖系统的最优估计参数;文献［11］采用Localization技术动态精简系统待选模型集.但这些方法只是对模型的选择作了优化，并没有减少固定模型的数目.文献［12］通过不断缩小模型参数估计区域以及移动模型子集来优化模型集;文献［9］采用分层递阶结构方法设计模型集.但上述方法结构较为复杂，而且没有从根本上降低固定模型的数目.

针对一类具有有界扰动的离散时间时变被控对象，本文提出基于模型集动态优化的多模型自适应控制算法.采用最优可行子集定位、动态覆盖的优化策略动态建立被控对象的固定模型集，在不降低系统控制精度的情况下，降低了固定模型的数目和系统计算量.同时证明了闭环系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定，并给出了跟踪误差的上界.与文献［8］相比，本文控制算法使得系统跟踪误差稳态值减小1倍.

1 问题描述

考虑如下离散时间被控对象:

式中，y(t)和u(t)分别为被控对象的输出和输入;u(t)的系数b0不等于零;d是传输延时(d≥1);δ(t)为有界扰动.假设:

A1 参数ai(t)，bi(t)，i∈{0，1，…，n－1}为时间t的常值或分段常值函数，且相邻跳变时间间隔足够长;

A2 t变化时，参数向量［a0(t)，…，an－1(t);b0(t)，…，bn－1(t)］T在一紧集 Ω 中变化;

A3 对象阶次上限n和延时d已知;

A4 被控对象是最小相位系统;

为便于参数估计，将式(1)改写为如下递归形式:

式中，φ(t)=［y(t)，…，y(t－ n+1)，u(t)，…，u(t－ n+1)］T;θ(t)=［a0(t)，…，an－1(t)，b0(t)，…，bn－1(t)］T.本文的目的是对任意已知的有界参考输入y*(t)，决定有界输入u(t)，使得输出y(t)尽可能地跟踪y*(t)，并保证闭环系统稳定.

2 模型集的建立

2.1 基于动态优化的固定模型集建立

固定模型集的动态优化由最优可行子集定位、动态覆盖两级寻优策略构成.

2.1.1 被控对象模型参数最优可行子集的定位

基于Localization方法，将参数集Ω分割为有限个子集的合集，且满足如下性质:① Ωi⊂Ω，Ωi非空，i=1，2，…，m; ②=Ω; ③ ∀i，i=1，2，…，m，∃θi∈Ωi(“中心”)和 ri＞0(“半径”)，使得∀θ∈Ωi，有‖θ－θi‖≤ri，θi和 ri的存在性由假设 A2 保证.

t时刻，若被控对象模型参数向量θ∈Ωi，则根据性质③和式(2)可得

如果式(3)不成立，则对象模型参数不属于子集Ωi，Ωi可被排除，只有满足式(3)的子集才接近被控对象的参数，即为可行子集.令I(t)代表t时刻被控对象模型参数所属的可行子集索引的集合，其初始化为I(t0)={1，2，…，m}.被控对象模型参数最优可行子集的定位过程如下:

① 对t＞t0，计算

2.1.2 固定参数模型集的动态构造

设t时刻，被控对象模型参数所属的最优可行子集为Ωl，隶属于Ωl的模型参数向量可表示成

式中，v1，…，vn，…，v2n对应于对象模型的可变参数 ai和 bi，i=0，1，…，n －1.令 Ωl的中心 θl(θl=［v1－l，…，vn－l，…，v2n－l］T)为t时刻被控对象模型参数的最优估计，固定模型集的动态建立过程如下:

① 确定子集 Ωl中可变参数v1，…，vn，…，v2n的变化区间，即确定2，…，2n.

④将N个固定参数模型M1，M2，…，MN合成为t时刻动态创建的固定参数模型集.

为保证在各子集内动态生成的固定参数模型仍然落在其内部，下面的定理给出了一个充分条件.

证明 由向量2范数定义易得.

定义1 对象模型集由N个动态生成的固定参数模型Mi，i=1，2，…，N和常规自适应模型Ma1及可重新赋值自适应模型Ma2构成.

2.2 自适应模型

对于自适应模型，其参数采用如下带死区函数的投影算法［13］进行辨识:

式中，0＜a(t)＜2;f(¯δ，e(t))是死区函数，e(t)是预测误差，满足

常规自适应模型Ma1用于保证系统的稳定性，其参数θa1如式(6)和(7)进行更新;可重新赋值自适应模型Ma2的参数θa2初值动态调整为距离被控对象最近的固定模型的参数，以获得更快的收敛速度.

3 多模型自适应控制器设计

令跟踪误差ec(t)=y(t)－y*(t)，则

t时刻，若对象模型参数θ(t)已知，可由如下方程确定控制输入u(t):

基于模型集动态优化的多模型自适应控制器设计算法如下:

①构造数据向量φ(t－d)，读入新的输出数据y(t).

②按2.1节的方法动态生成N个新的固定参数模型，并替换上一时刻生成的固定参数模型集.

④ 计算 Ji(t)，i=1，2，…，N 和Jaj(t)，j=1，2，令如果 Jl(t)(t)≤Jah(t)(t)，令θ(t)=θl(t)，如式(9)计算控制输入 u(t)，并令; 否则，令=，如式(10)计算控制输入 u(t)，并令

⑤ 令t=t+1，转①.

4 稳定性分析

引理1［13］对于时不变系统，参数估计算法式(5)～(7)满足:①，k 为正整数.

定理2 在假设条件A1～A5下，多模型控制器作用于系统(1)时，闭环系统BIBO稳定，即

1)若Jq(t)＞0，则由引理1①可知必然存在一有限时刻T，使得∀t≥T，Jaj(t)≤Jq(t)，j∈{1，2}，此后，模型间的切换仅在自适应模型Ma1和Ma2间进行.简化起见，以下分析将省去自适应模型的下标aj.对任一自适应模型，由式(2)、(7)和(8)可得

则

另外，由最小相位假设A4和式(6)可得

式中，0＜c1＜∞，0＜c2＜∞.由文献［14］中引理6.2.1可知式(15)和(16)满足引理条件，则可得的结论，即为定理2的结果.

2)若Jq(t)=0，参考文献［3］第Ⅲ部分及上述证明过程可得有界及即为定理2的结果.

文献［6］在研究同样的被控对象时得出的结论为:跟踪误差的稳态值是系统扰动项上界的2倍(见文献［6］定理2)，而本文跟踪误差的稳态值即为系统扰动项的上界，系统的控制精度显著提高.

5 仿真

考虑如下离散时间时变系统:

式中，d=2.参数{a1(t)，b2(t)}未知时变，参考输入为y*(t)=2sin(πt/50).设未知参数{a1(t)，b2(t)}在t=0时刻为{1.5，0.2}，在t=100时刻变为{2.5，0.2}，在t=200时刻变为{1，0.4}，在t=300时刻变为{2，0.3}.根据a1(t)和b2(t)的可变范围，将对象模型参数集Ω分解为54个子集，各子集中心参数向量对应的 a1和 b2分别取为{0.95，1.15，…，2.35，2.55}和{0.15，0.2，…，0.35，0.4}，N 取为 30.采用如下2种控制方案:①基于120个固定参数模型和自适应模型的MMAC;②基于本文算法的MMAC.在方案①中作者特意在参数{a1(t)，b2(t)}的跳变值附近内构造固定参数模型.图1和图2分别为上述2种控制方案时系统的响应.

图1 控制方案1系统输出曲线

图2 控制方案2系统输出曲线

6 结语

针对一类具有界扰动和跳变参数的离散时间系统，本文提出基于模型集动态优化的多模型自适应控制算法，并证明了闭环系统的BIBO稳定性.与已有的研究结论相比，本文算法可使系统跟踪误差稳态值减小1倍.

References)

［1］ Narendra K S，Balakrisham J.Improving transient response of adaptive control systems using multiple models and switching［J］.IEEE Trans Autom Control，1994，39(9):1861-1866.

［2］ Narendra K S，Balakrishnan J.Adaptive control using multiple models［J］.IEEE Trans Autom Control，1997，42(2):171-187.

［3］ Narendra K S，Cheng Xiang.Adaptive control of discrete-time systems using multiple models［J］.IEEE Trans Autom Control，2000，45(9):1669-1686.

［4］ Chen L J，Narendra K S.Nonlinear adaptive control using neural networks and multiple models［J］.Automatica，2001，37(8):1245-1255.

［5］ Narendra K S，Koshy G.Adaptive control of simple nonlinear systems using multiple models［C］//Proc of American Control Conference 2002.Anchorage，USA，2002:1245-1255.

［6］ Narendra K S，Driollet O A.Stochastic adaptive control using multiple models for improved performance in the presence of random disturbances［J］.Int J Adapt Control Signal Process，2001，15(3):287-317.

［7］Ippoliti G，Longhi S.Multiple models for adaptive control to improve the performance of minimum variance regulators［J］.IEE Proc-Control Theory，2004，151(2):210-216.

［8］李晓理，王书宁.含有界扰动系统的多模型自适应控制［J］.控制理论与应用，2003，20(4):577-581.Li Xiaoli，Wang Shuning.Multi-model adaptive control of system with bounded disturbance［J］.Control Theory ＆Applications，2003，20(4):577-581.(in Chinese)

［9］王昕，李少远.多模型分层递阶自适应前馈解耦控制器［J］.控制与决策，2005，20(1):17-22.Wang Xin，Li Shaoyuan.Hierarchical multiple model adaptive feedforward decoupling controller［J］.Control and Decision，2005，20(1):17-22.(in Chinese)

［10］ Maybeck P S，Hentz K P.Investigation of moving bank multiple model adaptive algorithms［J］.Journal of Guidance Control Dynamics，1987，10(1):90-96.

［11］Zhivoglyadov P，Middleton R H，Fu M.Localization based switching adaptive control for time-varying discrete-time system ［J］.IEEE Trans Autom Control，2000，45(4):752-755.

［12］刘鲁源，吕伟杰，牟世忠.基于在线优化的切换多模型自适应控制［J］.控制与决策，2002，17(4):407-410.Liu Luyuan，Lü Weijie，Mou Shizhong.Switching multiple model adaptive control based on online optimization［J］.Control and Decision，2002，17(4):407-410.(in Chinese)

［13］王伟，顾兴源.两种自校正控制新算法及其应用［J］.信息与控制决策，1989(1):48-51.Wang Wei，Gu Xingyuan.Two kinds of new adaptive control algorithms and applications［J］.Information and Control，1989(1):48-51.(in Chinese)

［14］ Goodwin G C，Sin K S.Adaptive filtering，prediction，and control［M］.Englewood Cliffs:Prentice Hall，1984.