李春月

数学建模是一种极为重要的数学思想方法,初中阶段数学活动就是数学模型的建立与处理。在教学中,渗透和应用建模思想是每位数学教师的责任。

课程标准指出,“‘数与代数的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数,它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型,可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界”,“体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数知识与方法解决问题的能力”,“在教学中,应注重让学生在现实背景中理解基本的数量关系和变化规律,注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程……”。现在强调数学建模,主张在数学教学中突出数学思想的来龙去脉,揭示数学概念和公式的实际来源和应用,恢复并畅通数学与外部世界的联系,其依据就在这里。

那么,什么是数学模型呢?按照徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中的提法,可以做这样的解释:所谓数学模型,是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系,采用形式化的数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。徐利治先生在该书中还对数学模型作了广义解释:凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程(代数方程、函数方程、微分方程、差分方程、积分方程……)以及由公式系列构成的算法系统都可称之为数学模型。

数学是关于模式的科学,数与代数中有大量的规律、公式和算法。对于数与代数的学习来说,重要的是要让学生学会探求模式,发现规律,而不是死记结论,死套公式和法则。在教学过程中,教师不是引导学生简单地从几个问题的例子作为靶子,直接得出概念、定律等,而是让学生进一步思考这几个问题是不是生活中的特例,大家的发现是不是具有普遍性,不妨把它作为一种猜想,要想验证这个猜想,还需要大量地举例。学生经历猜想——举例——验证——得出结论这样的探索过程。只有经过自己的探索,才能不仅“知其然”,而且“知其所以然”,才能真正获得知识,懂得公式的意义,掌握公式的应用。学过的公式,即使忘记,自己还可以推出来;而且通过探求若干公式的活动,可以提高探索能力,举一反三,探求新的公式,也有利于探索和掌握数与代数的运算和规律。让学生运用所学知识,观察、分析、测量、讨论、建模、解决实际问题,使学生能够透过纷繁复杂的现象抽象、概括其本质,尝试将具体问题转化为数学模型。建立一个问题解决的数学模型,通过对实际问题的信息进行分析处理,提出必要的假设,并进行数学的抽象与概括,从而建立起某种特定的数量关系,利用相关的知识使问题得到解决,形成数学建模思想。

数学建模作为一种思想方法,首先它可以与数学基础知识的教学相依随,经常渗透,逐渐升华。通过解读信息,深刻分解实际问题的背景,挖掘实际问题的内在规律,明确所求结论和对所求结论的限制条件。第二,简化信息。根据实际问题的特征和建模的目的,对问题进行必要简化。抓住主要因素,抛弃次要因素,根据数量关系,联系数学知识和方法,用精确的语言作出假设。第三,抽象成数学问题(即模型一)。将已知条件与所求问题联系起来,将文字语言翻译成数学语言,将生活问题抽象成数学问题。

当然,在基础教学中,并不是用过多的有关数学建模的术语,而主要的还是通过具体问题的提出和解决过程让学生体会到数学建模的思想。

若按初中数学体系分,有依据相等关系抽象成的方程模型,以解决利息和税率、百分率、工程及劳力调配等问题;有依据平面几何性质抽象成的几何模型,以解决零件加工、残轮修复、工程选点、道路设计及飞轮、皮带、拱桥等计算的问题;对测高量距、航海、机翼、渠坝坡比、燕尾槽、屋架的计算等应用问题可建立三角模型予以解决;还可建立直角坐标系模型,以解决投物、射击、喷灌等物体运动的轨迹有某种规律,或者变量的变化具有某种函数关系的实际问题;在市场经济大潮中,人们更加注重对普遍存在的诸如造价最低,产出、利润最大,风险决策、股市、期货、开源节流、扭亏增盈、最优化等问题的研究,可透过实际问题的背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,抽象成函数的(区间)极值(目标)模型等。

学生通过建模求解,体会到科学、正确决策的意义和作用,也体会到正确的决策离不开数学。在实际操作中,数学建模问题难易应适中,以创新性、现实性、真实性、合理性、有效性等几个方面作为标准,千万不要搞一些脱离中学生实际的建模教学,题目难度要适度,这样才能更好地使学生有参与建模教学的积极性,保持建模教学的活动,真正使建模为我所用。

(作者单位:甘肃省天祝县新华中学)