李继超

数学开放题是20世纪70年代出现的一种新题型,目前不仅已成为数学教育领域聚焦的热点,而且也已成为数学教育领域研究的亮点,被认为是当今最富有价值的题型之一。本文主要是对其内在的教育价值予以分析和阐述。

数学开放题是指那些答案不唯一,可以从多方面、多角度、多层次进行探索,给解题者在主观上留有较大自由度和思维空间的数学问题。

例 如图1所示,已知AC=BD,要使△ABC≌△DCB,则需添加一个条件()。

开放题的答案具有多样性和层次性;开放题的研究具有拓展性和探索性;开放题的解决具有多向性、创造性和超常规性;开放题的教学具有激励性、主体性和趣味性。开放题的上述特点决定了其在数学教育中的巨大价值。

1 开放题有利于培养学生的创新意识和创造能力

现今社会对人才的创造能力和创新精神要求越来越高,培养出具有更高数学素质、更强创造能力的人才是时代对数学教育提出的迫切要求。教学中开放题的运用有利于培养学生的创造能力,这是开放题巨大教育价值最核心的内容和最突出的体现。著名数学教育家弗赖登塔尔反复强调,学习数学的唯一正确方法是“再创造”[1]。在开放题教学中,学生积极主动、勇于探索,使得学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

在解答开放题时,没有现成的、固定的解题模式可以遵循,凭借记忆、模仿等方式难以完成解题任务,必须打破传统的思维方法和思维模式,采用多种策略、多种途径进行探索,才能使问题得以解决。这种发散性的思维模式有利于学生创新意识的形成。

2 开放题的教学有利于保障学生的主体地位,营

造民主、合作、和谐的教学氛围

在开放题教学中,学生不再是知识的被动接受者,而是具有主动性的认知主体,是学习活动的主人。开放题答案的多样性、探索性和趣味性,能够激发学生的好奇心,增强学生的参与意识。教学中的学生按其参与程度可以分为主动参与型、被动参与型和不参与型3种[2]。开放题可以使更多被动参与型、不参与型学生向主动参与型转化。同样,开放题教学也离不开师生之间的互动以及生生之间的互动,Robert C. Pianta认为,亲密、依赖、矛盾是师生互动的主要维度[3]。在开放题教学过程中,师生组成问题解决的“学习共同体”,师生间的互动表现出一定的亲密特征,易于建立民主、平等、和谐的师生关系。

“建构主义认为学习者是在与他们所处的环境相互作用的基础上创造、建构的,当然也包括和其他人的交流。建构主义者认为经验与环境对于使学习者学习得更好起着关键作用。”[4]开放题教学中的合作与交流有助于丰富和改善学生的认知结构。在合作交流中,学生各抒己见,互相尊重、互相信赖、互相支持、互相配合,处在一种和谐、融洽、宽松的教学环境之中。Richard A. Schmuck和Patricia Schmuck给出健康有活力的课堂集体应具备的条件:具有可靠的人际关系;领导权共同掌握;具有广泛友谊;具有开诚布公的交流[5]。可见,开放题教学课堂集体是有活力的。

3 开放题有助于培养学生的高层次思维

常规封闭题的构题要素完备,为学生思维留下的空间极为有限,通常是找到一个答案就无需做进一步的探索。学生只要对解题方法进行强化记忆、反复演练,就可熟练地予以解答,学生很少进行高层次的思考。而开放题解题方法和解题策略灵活多变,学生必须进行更为复杂、更为深入的思维活动,才能使问题得以解答。因而,使思维的广阔性、深刻性和灵活性得到发展,培养学生的思维能力。“开放性问题允许学生表达他们对问题的深层次的理解,这在多项选择中是无法做到的。”[6]可见,开放题是培养学生高层次思维的好素材。

4 开放题有利于学生非智力因素的培养

开放题的解答具有明显的层次性,问题的答案和解题策略多种多样,不同层次的学生都能进行不同程度的尝试与探索,找到一些符合其认知水平的答案,有所收获,体会成功的喜悦和学习的乐趣。能力强的学生可以进行更全面、更深入的探索,基础较弱的学生也不至于毫无思路。美国心理学家马斯洛的需要层次理论认为自我实现的需要是人的最高层次的需要。开放题的解答使得学生的聪明才智得以发挥,促成学生学习中的自我实现。同时,学生的解题过程是一个不断探索的过程,随着解答的逐步深入,会不断地遇到一些新的问题。学生必须对自己的解题活动进行元认知认识、评价和监控,克服困难、潜心钻研,逐步从一个思维层面向更高的思维层面跃进,进而形成坚韧不拔、锲而不舍的意志品质,培养追求真理的精神和科学态度。可见,开放题有利于学生意志、需要、自信心等非智力因素的发展。

5 开放题教学有助于教师更好地评价学生

新课程所倡导的评价理念强调:关注学生学习结果的同时,还要关注学习的过程;关注学习水平的同时,还要关注学生的情感态度。开放题教学为更好地评价学生提供了有利的条件,教师可以从多个维度对学生做出评价。学生解决问题时可以根据自己的知识基础、知识背景,按照自己的思维方式给出不同的答案。因此,教师可以对其个性差异作出评价,同时还可以对其数学思想方法的运用、数学思考的深度、探索精神等方面作出评价;教学中学生既要独立思考,又要与他人合作,因此,教师可以对其合作的态度、表达与交流的能力等方面作出评价。可见,开放题教学有助于教师对学生学习的知识、技能,过程、方法,情感、态度、价值观等方面作出评价。

6 开放题有利于数学学困生的转化

统计表明,全国的中小学生大约有2亿3 000万人,近30%的数学学困生,大约涉及6 000多万个家庭[7]。如此多的数学学困生,是现代教育需要解决的一个紧迫问题,也是一个不容忽视的社会问题。

开放题的起点低,问题的解决可以从多方入手,对于学困生而言,更易于接受,可以改变其在数学解题中屡屡受挫的局面,树立学好数学的信心,调动学习的主动性和积极性。同时,开放题的解答过程是一个由浅到深,由简单到复杂,由具体到抽象的过程,这符合学生认知能力的发展规律,帮助学困生掌握数学基础知识和基本技能,使他们的知识结构得到逐步完善。

7 开放题教学有助于教师教学行为的改善和教师素质的持续发展

在开放题教学中,教师不仅是知识的传授者,而且也是学生学习的引导者、组织者、促进者和合作者。对于开放题教学而言,运用原有的、固定的教学模式是很难奏效的,这就要求教师必须运用多种教学方法和手段对学生进行启发、引导,而不是代替学生分析问题和解决问题。教师应融入“学习共同体”之中,成为学生的合作伙伴,进而改变以教师为中心的教学方法,实现教师角色的转变。

数学开放题答案的不确定性与多样性,给学生提供了更为宽泛的探索空间,思维更为发散,他们得到的答案有些可能教师也是无法预测的。面对学生种种新颖而独特的想法以及别具一格的解答,教师要给予及时而适当的评价,这就对教师的能力提出新的挑战。此外,在实际教学中教师除了采用现有的开放题外,还要根据教学实际设计开发新的开放题,因而,对教师的数学专业素质、教育科学素质、人文素养以及知识面等都提出更高的要求。教师只有不断地提升自己的教学能力,不断地学习、探索和研究,更新教育教学理念,使自己的素质得到持续稳定的发展,才能更好地适应数学开放题的教学。

参考文献

[1](荷兰)弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平, 唐瑞芬,等,编译.上海:上海教育出版社,1995

[2]Finn J D & Cox D.Participation and Withdrawal among Fourth-Grade Pupils[J].American EducationalResearch Journal,1992,29(1):141-162

[3]Pianta R C.Patterns of Relationships betweenChildren and Kindergarten Teachers[J].Journalof School Psychology,1994,32(1)

[4]Draper R J.School Mathematics Reform, Constructivism,and Literacy: A Case for Literacy Instruction in the Reform-oriented Math Classroom[J].Journal of Adolescent & Adult Literacy,2002,45(6):520-529

[5]Schmuck R A and Schmuck P.Group Process in theClassroom[M].2nd Edition.Dubaque, Iowa:WilliamC.Brown Company Publishers,1975:56

[6]California State Department of Education.A Question of Thinking: A First Look at StudentsPerformanceon Open Ended Questions in Mathematics[Z].Sacramento: California State Department of Education,1989

[7]杜玉祥.数学差生问题研究[M].上海:华东师范大学出版社,2003

(作者单位:北京市私立汇佳学校)